Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Analyse 2 – Intégrales généralisées
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Convergence d’une intégrale généralisée (ou impropre) d’une fonction continue sur un intervalle $I$ semi-ouvert ou ouvert. | La convergence est traduite en termes de limites portant sur une primitive. La terminologie de « fonction intégrable » n’est pas donnée. Les notations $\int_I f$, $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t$, $\int_a^b f$, $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ pourront, selon le contexte, désigner l’intégrale généralisée ou sa valeur. |
Cas d’une fonction définie sur un intervalle et continue sur cet intervalle sauf éventuellement en un nombre fini de points. | Cas particulier d’une fonction prolongeable par continuité en un point. |
Propriétés des intégrales convergentes : linéarité, relation de Chasles, positivité, stricte positivité ($f$ positive non nulle), croissance. | La démonstration de la stricte positivité n’est pas exigible. |
Adaptation de l’intégration par parties aux intégrales généralisées. | On souligne la nécessité de confirmer la convergence de tous les termes apparaissant dans une telle formule. |
Adaptation de la formule de changement de variable pour les intégrales généralisées. | Si la fonction $\varphi$ est de classe $\mathscr{C}^1$ et strictement monotone sur un intervalle d’extrémités $a$ et $b$ ayant des limites $\alpha=\lim_a\varphi$ et $\beta=\lim_b\varphi$ et si $f$ est continue sur l’intervalle d’extrémités $\alpha$ et $\beta$, alors les intégrales $\int_\alpha^\beta f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$ sont de même nature, et ont la même valeur lorsqu’elles convergent. |
Cas des fonctions paires ou impaires. | |
Théorèmes de convergence pour deux fonctions positives $f$ et $g$ : • théorème par comparaison si $f\leq g$, | Tout autre critère de convergence est hors programme. |
• si $f(x)\underset{x\to b}{\sim}g(x)$, alors les intégrales généralisées en $b$ $\int_a^b f$ et $\int_a^b g$ sont de même nature. | Tout résultat sur la nature des intégrales de Riemann devra être démontré. |
Convergence absolue d’une intégrale généralisée. | La convergence absolue est présentée comme une condition suffisante pour obtenir la convergence de l’intégrale. Les intégrales semi-convergentes sont hors programme. |
L’intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x$ converge et vaut $\sqrt{2\pi}$. | La valeur de cette intégrale est un résultat admis. |
Analyse de covariance et moments d'une loi normale
On considère deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(U\) indépendantes, ...
Calcul d'intégrale
Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : \[I = \int_0^1 \ln(t)\ln(1-t)\mathrm{d}t\] à l’aide d’un dével ...
Changement de variable, intégration par parties et intégrale impropre
On rappelle que \(\sin^3 t = \sin t\,(1 - \cos^2 t)\).
exo7 1278
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) avec ...
exo7 1280
Donner la nature des intégrales suivantes : ...
exo7 1281
Montrer que \(\forall x>-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.\)
exo7 1282
Étude de : \[f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\] ...
exo7 1284
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1285
Étudier la fonction : \[h:x\rightarrow \int_{x}^{x^{2}}\frac{dt}{\log t}.\] Domaine de définition, continuité et ...
exo7 1286
Donner un exemple d’une fonction continue positive telle que : \[\int_{0}^{\infty }f(u)du\] existe mais telle qu’ ...
exo7 1287
Soit \(f\) une fonction positive décroissante de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1288
Soit \(f\) une application continue par morceaux de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1289
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1290
Étudier la nature de \[\int_{0}^{\infty }\frac{\sin t}{t^{\alpha }}dt\] selon ...
exo7 1291
Convergence et calcul de : ...
exo7 1292
Soit \(f:[1,\infty [\rightarrow {\Rr}^{+}\) continue telle que ...
exo7 1293
Soit \(f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})\) décroissante, on pose : ...
exo7 1294
Soit \(f:]0;1] \rightarrow {\Rr }\) continue et monotone, telle que ...
exo7 1295
Montrer que si \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) est uniformément continue, alors ...
exo7 1296
Nature de : ...
exo7 1297
Nature et calcul de : ...
exo7 1298
Convergence et calcul de : ...
exo7 1299
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de ...
exo7 1300
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) continue, tendant vers \(\ell\) en ...
exo7 1301
Calculer : ...
exo7 1302
Soit \(f\in C({\Rr},{\Rr})\) telle que \(\int_{-\infty }^{\infty }f\) existe, mon ...
exo7 1941
Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’intégrale généralisée suivante ...
exo7 1945
On rappelle que la série harmonique alternée converge et a pour somme ...
exo7 1955
Soit \(f: \Rr \rightarrow \Rr\) l’application ...
exo7 2330
Fonction Gamma - Pour tout \(x>0\), on pose ...
exo7 2331
Sans les calculer, dire si les intégrales suivantes sont convergentes ou divergentes : ...
exo7 2332
Sans les calculer, dire si les intégrales suivantes sont convergentes ou divergentes : ...
exo7 2333
Soit \(n \ge 0\) un entier. Montrer que l’intégrale ...
exo7 2334
On définit \[F(x) = \int_0^x {\sin t\over t}\ dt\] et pour tout \(n \in \Nn\), o ...
exo7 2337
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\left[0,1\right[\) par ...
exo7 2338
Dire si les intégrales suivantes sont convergentes (en discutant éventuellement suivant la valeur des paramètres) : ...
exo7 2339
Montrer la convergence des intégrales suivantes puis les calculer : ...
exo7 2369
Soit \(X = \{f\in {\cal C}(\Rr ) \; ; \; (1+x^ 2 ) |f(x)| \text{ soit bornée}\}\). On pose ...
exo7 2719
En discutant éventuellement selon la valeur des paramètres réels \(\alpha\) et ...
exo7 3828
Soit \(\varphi : {\R^n} \to \R\) définie par ...
exo7 4063
Soit \(E=\mathcal{C}(\R^+,\R)\), \(b\in \R\) et ...
exo7 4081
Soit \(f\) continue et intégrable sur \(\R\). On considère l’équation différentie ...
exo7 4090
Soit \(f : \R \to\R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4239
Calculer pour tout \(n \in \N^*\) : ...
exo7 4268
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ d t}{e^t+t^2e^{-t}}\) (cv)
...
exo7 4269
\(\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{(1+t^2)^2} = \frac{\pi}{4}\)
...
exo7 4270
\(\int_0^{2\pi} \frac{ d t}{2+\sin{t}} = \frac{ 2\pi}{\sqrt3}\)
...
exo7 4271
\(\int_0^1 \sqrt{ \frac{ t}{1-t} }\,d t = \frac{ \pi}{2}\)
...
exo7 4272
...
exo7 4273
\(\int_0^{+\infty} te^{-\sqrt t} \,d t = 12\)
...