Programme de mathématiques BCPST, seconde année
b) Racines et factorisation.
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Définition d’une racine $\alpha$ d’un polynôme $P$ : $P(\alpha)=0$. | |
Un nombre réel ou complexe $\alpha$ est racine d’un polynôme $P$ si, et seulement si, il existe un polynôme $Q$ tel que $P=(X-\alpha)Q$. | La division euclidienne des polynômes est hors programme. |
Généralisation à plusieurs racines distinctes. Le nombre de racines distinctes d’un polynôme non nul est majoré par son degré. | |
Ordre de multiplicité d’une racine. | La caractérisation de la multiplicité d’une racine à l’aide des polynômes dérivés n’est pas un attendu du programme. |
Cas des polynômes réels : si $\alpha$ est racine, $\overline{\alpha}$ est aussi racine. | |
Théorème de d’Alembert-Gauss. Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$. | Ce théorème est admis. La factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ est hors programme. |
Développement en série et étude de suites définies par des équations polynomiales
On supposera connues les relations suivantes : ...
exo7 1236
Soit \(P(X)\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(3\) ayant trois rac ...
exo7 2263
Soit \(f(x)\in A[x]\) un polynôme sur un anneau \(A\). Supposons que ...
exo7 2278
Soit \(P\in \Zz[x]\). Soit \(\dfrac{a}{b}\) sa racine rationnelle : ...
exo7 2947
Résoudre dans \(\C\) : \(z^4 + 6z^3 + 9z^2 + 100 = 0\).
exo7 30
Montrer que les solutions de \(az^2+bz+c=0\) avec \(a\), ...
exo7 3188
Déterminer tous les polynômes \(P\) tels que ...
exo7 3189
Soient \(x_1,\dots,x_n\in\C\) distincts et \(y_1,\dots,y_n\in\C\). Trouver ...
exo7 32
Trouver les racines complexes de l’équation suivante : \[x^4-30x^2+289=0.\]
exo7 3215
Montrer que \(\prod_{k=0}^{n-1} (\omega ^{2k}-2\omega ^k \cos \theta +1)=2(1-\cos (n\theta))\) avec ...
exo7 3217
Montrer que \(X^2-2X\cos\theta+1\) divise \(X^{2n}-2X^n\cos n\theta+1\). Pour ...
exo7 3231
Trouver tous les polynômes \(P \in {\C[X]}\) tels que …
exo7 3232
Soit \(P \in {\R[X]}\) dont toutes les racines sont réelles.
exo7 3245
Soient \(a_0,\dots,a_n\in\R\) tels que \(|a_0| + \dots + |a_{n-1}| < a_n\). So ...
exo7 3257
Soient \(a,b,c\) les racines de \(X^3 - X + 1\). Calculer ...
exo7 3264
Soit \(P = X^4 + aX^2 + bX + c\) de racines \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\). CNS p ...
exo7 3267
Trouver \(\lambda \in \R\) tel que \(2X^3 + 5X^2 - X + \lambda\) ait une racine d ...
exo7 3268
Soit \(n \in \N^*\) et \({\cal E}\) l’ensemble des polynômes à ...
exo7 3563
Caractériser les polynômes \(P\) tels que : \(\forall\ A\in\mathcal{M}_n(\C)\), ...
exo7 372
Déterminer \(a\) et \(b\) dans \(\Rr\) tels que ...
exo7 396
Montrer que le polynôme \(P(X)= X^5-X^2+1\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est irationnelle.
exo7 400
Soit \(P=(X^2-X+1)^2+1\).
exo7 404
Prouver que \(B\) divise \(A\), où :
...
exo7 407
Soit \(\theta \in\mathbb{R}\) ; on suppose \(\sin n\theta \neq 0\). Déterminer le ...
exo7 412
Dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\), décomposer les polynômes suivan ...
exo7 413
Quelle est la décomposition de \(X^6+1\) en facteurs irréductibles dans ...
exo7 415
Soit le polynôme \(P=X^8+2X^6+3X^4+2X^2+1\).
exo7 417
Soient \(x_1, x_2, x_3\) les racines de \(X^3-2X^2 + X + 3\). Calculer ...
exo7 421
Soit \(P \in \Rr[X]\) scindé sur \(\Rr\) à racines simples.
exo7 431
Résoudre l’équation d’inconnue \(P\in \Cc[X]:P(X+1)P(X)=-P(X^{2}).\)
exo7 437
Soit \(n\in \Nn^{*},\) et \(P(X)=(X+1)^{n}-(X-1)^{n}.\) Quel est le degré de ...
exo7 457
Soit \(p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i\). On suppose que tous les \(a_i\) son ...
exo7 5314
On pose \(\omega_k=e^{2ik\pi/n}\) et \(Q=1+2X+...+nX^{n-1}\). Calculer ...
exo7 5319
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels tel que ...
exo7 5327
Trouver les polynômes \(P\) de \(\Rr[X]\) vérifiant ...
exo7 5329
Soit \((a_k)_{1\leq k\leq 5}\) la famille des racines de \(P=X^5+2X^4-X-1\). Calc ...
exo7 5332
Factoriser dans \(\Cc[X]\) le polynôme \(12X^4+X^3+15X^2-20X+4\).
exo7 5342
Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans \(\Rr[X]\) le polynôme ...
exo7 5363
Pour \(a\), \(b\) et \(c\) deux à deux distincts ...
exo7 5420
Soit \(P\) un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à \(2\).
exo7 5573
Soient \(a_0\),..., \(a_n\) \(n+1\) nombres comp ...
exo7 6531
Soit \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_0\in \Z[X]\) et soit \(c\in \Q\) une ...
exo7 6551
Pour quelle valeur de \(\lambda\) les polynômes suivants ont-ils un zéro en commun ?
exo7 6959
Factoriser dans \(\Rr[X]\) et \(\Cc[X]\) les polynômes suivants : ...
exo7 715
Montrer que le polynôme \(P_n\) défini par ...
exo7 717
Montrer que le polynôme \(X^n+aX+b\), (\(a\) et ...
exo7 7212
Résoudre sur \(\C\) l’équation \[iz^3-(1+i)z^2+(1-2i)z+6+8i=0,\] sachant qu’elle ...
exo7 7310
L’équation \(x^3 + x + 1 = 0\) a-t-elle des solutions dans \(\Z/2\Z\).
exo7 7318
Soit \(K\) un corps, et \(P \in K[X]\). Les assertions suivantes sont elles vraie ...