Programme de mathématiques BCPST, seconde année
c) Théorème spectral
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes d’une matrice symétrique réelle sont orthogonaux. | |
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormale. | La démonstration de ce thorème est hors programme. On fera remarquer qu’il existe aussi des bases de diagonalisation non orthonormales. Les étudiants devront être guidés pour la construction effective d’une base orthonormale de vecteurs propres. |
exo7 3818
Pour \(M\in GL_n(\R)\) montrer l’existence de deux matrices orthogonales \(U\) et ...
exo7 3822
Déterminer \(\{M \in {\cal{M}}_n(\R) \text{ tq } M(^tMM)^2=I_n\}\).
exo7 4933
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation ...
exo7 4940
On considère un plan \(P\) et une droite \(D\) sécants. Déterminer le lieu des po ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...
exo7 5786
Montrer que la matrice de Hilbert ...
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5798
Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que les matrices \({^t}AA\) et ...
exo7 5799
Montrer que le produit de deux matrices symétriques réelles positives est à valeurs propres réelles positives.
exo7 5800
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles symétriques positives. Montre ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
exo7 5804
La matrice ...
exo7 5863
Pour \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\), on pose ...
exo7 7446
Soit \(E\) l’espace vectoriel \(\Rr^3\) muni du produit scalaire canonique et de ...
exo7 7508
Soit \(\R^2\) le plan affine euclidien muni du produit scalaire standard et de la base canonique.