Programme de mathématiques MP, MPI
c) Exponentielle d’un endomorphisme, d’une matrice
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Exponentielle d’un endomorphisme d’un espace normé de dimension finie, d’une matrice réelle ou complexe. | Notations $\exp(a)$, $\mathrm{e}^a$, $\exp(A)$, $\mathrm{e}^A$. |
Exponentielle d’une matrice diagonale. Exponentielle de matrices semblables. Spectre de $\exp(A)$. Continuité de l’exponentielle sur $\mathscr{L}(E)$, sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. Dérivation de $t\mapsto\exp(ta)$ de $t\mapsto\exp(tA)$. Exponentielle de la somme de deux endomorphismes, de deux matrices carrées, qui commutent. |
exo7 1072
Soit \(J\in M_{n}({\Rr})\) une matrice telle que : \(J^{2}=I\) et ...
exo7 1077
Soit \(A\in M_{n}({\Rr})\) nilpotente, on définit : ...
exo7 1716
Calculer les puissances et l’exponentielle (\(e^M=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}\)) des matrices suivantes : ...
exo7 2213
Montrer que si \(\rho (A) <1\) alors
exo7 2574
(5 points) Soit \(A\) une matrice carrée, \(A\in M_n(K)\) ( ...
exo7 2598
On note \((\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) la base canonique de \(\R^3\). Soit ...
exo7 2752
L’exponentielle d’une matrice carrée \(M\) est, par définition, la limite de la série ...
exo7 3523
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) et \(f : E \to E, u {\tilde u}\) avec ...
exo7 3546
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A = A^{-1}\). ...
exo7 3708
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 4071
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :
exo7 4176
Soit \(f : {\mathcal{M}_n(\C)} \to {\mathcal{M}_n(\C)}, M \mapsto {\exp(M).}\)
exo7 4412
Résoudre dans \(\mathcal{M}_2(\C)\) : ...
exo7 4563
Soient \(A,B\in \mathcal{M}_n(\R)\). Montrer que : ...
exo7 5628
Pour \(A\) matrice nilpotente donnée, on pose ...
exo7 5864
Déterminer ...
exo7 5868
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...
exo7 5869
Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si
exo7 5872
Pour \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\), calculer ...
exo7 5873
Montrer que \(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), \(\text{exp}(A)\) est un polynôme ...
exo7 6320
En suivant la méthode d’itération de Picard, trouver la solution des équations avec condition initiale :
(i) ...
exo7 6337
On rappelle les différentes méthodes pour résoudre un système différentiel linéaire à coefficients constants ...
exo7 6338
Soit \(A\) un opérateur de \(\Rr^n\) et ...
exo7 6339
Montrer que \(\Big(I+{A\over n}\Big)^n\) converge vers \(e^A\) quand ...
exo7 6342
Résoudre le système ...
exo7 6352
Si \(A\) est nilpotente, quelle est la forme des solutions de l’équation ...
exo7 6355
On considère l’équation différentielle \({d^2x(t)\over dt^2}={dx(t)\over dt}+2x(t)\).
Ecrire le système dif ...
exo7 6358
On considère l’équation différentielle linéaire sur \(\Rr^n\) ...
exo7 6360
On considère l’équation du pendule \(x''+\sin x=0\).
On sait que les solutions maximales sont défin ...
exo7 6363
Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur p ...
exo7 6364
On considère \(A\) la matrice ...
exo7 6809
Introduction. Si \(A\) est une matrice \(n\times n\) à coef ...