Programme de mathématiques MP, MPI
d) Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie est dit diagonalisable s’il existe une base de $E$ dans laquelle sa matrice est diagonale. | Une telle base est constituée de vecteurs propres. Cas des projecteurs, des symétries. |
Pour qu’un endomorphisme soit diagonalisable, il faut et il suffit que la somme de ses sous-espaces propres soit égale à $E$. | Caractérisation par la somme des dimensions des sous-espaces propres. |
Une matrice carrée est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. | Interprétation en termes d’endomorphisme. Dans les exercices pratiques, on se limite à $n=2$ ou $n=3$. |
Cas d’un endomorphisme d’un espace de dimension $n$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. | Traduction matricielle. |
Pour qu’un endomorphisme $u$ soit diagonalisable, il faut et il suffit que $\chi_u$ soit scindé et que, pour toute valeur propre de $u$, la dimension de l’espace propre associé soit égale à sa multiplicité. | Traduction matricielle. Cas où $\chi_u$ est scindé à racines simples. |
exo7 1080
Soient \((x_n)_{n \in \N}\) et \((y_n)_{n \in \N}\) deux suites réelles, vérifian ...
exo7 1104
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^2\) de matrice ...
exo7 1576
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1578
Déterminer toutes les matrices \(A\) de \(\mathcal{M}_{2,2}(\R)\) telles que ...
exo7 1579
Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton. Le démontrer dans le cas particulier où le polynôme caractéristique est scindé à racines simples.
exo7 1594
Soient \(J=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)\) et la matrice par blocs à coeffici ...
exo7 1597
Soit \(m \in \R\) et \(A_m\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1600
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphisme s d’un espace vectoriel ...
exo7 1604
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1611
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1615
Soit \(A=\left (\begin{array}{cc} 1&4\\2&3\end{array}\right ).\) Trouver les valeurs propres de ...
exo7 1616
Soit \(A=\left (\begin{array}{ccc} 4&1&-1\\2&5&-2\\1&1&2\end{array}\right ).\) Diagonalise ...
exo7 1617
Soit \(A=\left (\begin{array}{ccc} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right ).\) Trouver, sans ...
exo7 1618
On considère les matrices suivantes ...
exo7 1620
On considère la matrice ...
exo7 1621
Soit \(T\) l’application linéaire de \(\mathbb R^3\) dans ...
exo7 1622
Lorsque c’est possible, diagonaliser les matrices suivantes :
...
exo7 1623
Pour quelles valeurs de \((a,b,c)\in\C^{2}\) la matrice ...
exo7 1624
Soit \(u\) l’application suivante : ...
exo7 1625
Soit \(A\in\mathcal{M}_{n}(\R)\). Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propr ...
exo7 1626
Soit \(A_{t}\) la matrice ...
exo7 1627
Pour quelles valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) le ...
exo7 1628
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes diagonalisables de ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1630
Soit \(f\) un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel \(E\) et ...
exo7 1631
Soit \(P_{0}\) un polynôme de \(\R_{n}[X]\), et ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1633
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables, sur \(\R\) et sur ...
exo7 1634
On considère un endomorphisme \(f\) d’un \(\C\) espace vectoriel ...
exo7 1635
La matrice suivante est-elle diagonalisable, triangularisable ? Effectuer explicitement la réduction. ...
exo7 1636
Soit ...
exo7 1638
A \(n\) nombres complexes \((a_{1},...,a_{n})\in\C^{n}\) avec ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1640
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1642
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1643
Dans l’espace vectoriel \(\R_{3}[X]\), on considère l’application linéaire suivante : ...
exo7 1644
On considère un réel \(\alpha\) et l’application \(T_{\alpha}\) suivante : ...
exo7 1645
Soient \(\R^n\) euclidien, \(f \in \textbf{O}_n(\R)\). Montrer que ...
exo7 1646
Diagonaliser en base orthonormale les matrices suivantes : ...
exo7 1648
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\C^3\) dont la matrice par rapport à la base can ...
exo7 1649
Soit \(A\in M_n(\Rr)\) telle que \(A^2=-I .\)
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1652
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1653
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1654
Soit \(f \in \mathcal{L} (\R ^3)\) déterminée par sa matrice ...
exo7 1656
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1657
Soit \(\rho\) l’application de \(\R _4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1659
Soit \(f\) un automorphisme d’un \(\Cc\)-espace vectoriel ...