Programme de mathématiques MP, MPI
g) Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice carrée
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Pour $u$ dans $\mathscr{L}(E)$, morphisme d’algèbres $P\mapsto P(u)$ de $\mathbb{K}[X]$ dans $\mathscr{L}(E)$. Le noyau de ce morphisme est l’idéal annulateur de $u$. Son image est la sous-algèbre commutative $\mathbb{K}[u]$ de $\mathscr{L}(E)$. | Traduction matricielle. |
Polynôme minimal d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie, d’une matrice carrée. | Le polynôme minimal est unitaire. Notations $\pi_u,\mu_u,\pi_M,\mu_M$. |
Si $d$ est le degré du polynôme minimal de $u$, alors la famille $(u^k)_{0\leqslant k\leqslant d-1}$ est une base de $\mathbb{K}[u]$. | |
Si $P$ annule $u$, toute valeur propre de $u$ est racine de $P$. | Si $u(x)=\lambda x$, alors $P(u)(x)=P(\lambda)x$. |
Les racines de $\pi_u$ dans $\mathbb{K}$ sont les valeurs propres de $u$. |
exo7 3590
Soit \(D = \text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\) une matrice diagonale à valeurs propres distinctes.
exo7 3591
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr 1 &1 \cr \end{pmatrix}\).
exo7 3592
Soit \(A = \begin{pmatrix} 9 &0 &0 \cr 1 &4 &0 \cr 1 &1 &1 \cr \end{pmatrix}\). Trouver le ...
exo7 3594
Trouver le commutant de \(\begin{pmatrix}2&-2&1\\ 2&-3&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\).
exo7 3595
Si \(A\in M_n(\C)\), on note \(C(A)\) le commutant de ...
exo7 3597
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3602
Soit ...
exo7 3605
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3607
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3608
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in\mathcal{L}(E)\) tel q ...
exo7 3609
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3611
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3615
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) un endomorphisme cyclique et \(F\) un sous-espace v ...
exo7 3617
Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), espace vectoriel de dimension ...
exo7 3780
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique telle qu’il existe \(k \in \N^*\) tel ...
exo7 3783
Soit \((A_i)\) une famille de matrices \(n\times n\) réelles symétriques commutan ...
exo7 4811
Soit \(E\) un \(\C\)-evn et ...
exo7 5651
Soit \(A =\left( \begin{array}{ccc} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{array} \right)\). Pour ...
exo7 5659
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un espa ...
exo7 5660
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Soien ...
exo7 5671
Trouver une matrice carrée \(A\) vérifiant \(A^4 - 3A^3 + A^2 - I = 0\).
exo7 5679
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5680
Soit ...
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
Inversibilité de matrices
Soit la matrice ...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice
...
Polynôme minimal et réduction
On considère la matrice
...