Programme de mathématiques MP, MPI
A - Suites et séries de fonctions
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- définir différents modes usuels de convergence des suites et séries de fonctions ;
- étudier la stabilité des propriétés des fonctions par passage à la limite ;
- introduire la thématique de l’approximation, reliée à la notion topologique de densité, à travers deux théorèmes d’approximation uniforme susceptibles de nombreuses applications.
La technique n’est pas un but en soi. On privilégie les exemples significatifs : construction de fonctions solutions de problèmes (équations fonctionnelles ou différentielles, par exemple), mise en évidence de fonctions aux propriétés remarquables...
En vue des applications aux équations différentielles linéaires, les fonctions considérées sont à valeurs dans un espace normé de dimension finie. Dans la pratique, on se limite pour l’essentiel au cas de fonctions à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On peut commencer par traiter le programme dans ce cadre et expliquer brièvement l’extension au cas général.
Les fonctions sont définies sur une partie $A$ d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie et à valeurs dans un espace vectoriel normé $F$ de dimension finie.
- a) Convergence simple, convergence uniforme 87
- b) Continuité, double limite 0
- c) Intégration d’une limite uniforme sur un segment 34
- d) Dérivation d’une suite de fonctions 21
- e) Séries de fonctions 11
- f) Approximation uniforme 13
exo7 5730
Soit \(f(x) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\sin(nx)}{n}\).
exo7 5731
Soit \(f(x) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\ln(nx)}\).
exo7 5732
Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux :
exo7 5733
Montrer que pour tout réel \(a > 0\), ...
exo7 5734
Pour \(n\in\Nn^*\), soit ...
exo7 5735
Pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\in\Rr\), soit ...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 5739
Montrer que \(\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}\) et ...
exo7 5743
Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...
exo7 5744
Montrer que pour tout réel \(x\), ...
exo7 5749
Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...
exo7 5751
Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...
exo7 5753
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{4n^2-1}\) pour \(x\) dans ...
exo7 5765
Pour \(n\in\Nn^*\) et \(x\in]0,+\infty[\), on pose ...
exo7 5878
Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...
exo7 5911
Calculer le volume de \(B=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\Rr^n/\;x_1^2+\ldots+x_n^2\leqslant1\}\) (boule unité fermée de ...
exo7 5917
En utilisant la définition d’une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes :
exo7 5922
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit \(f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) pa ...
exo7 6071
On note pour tout \(x\in \Rr, \ \varphi(x)=\) dist\((x,\Zz)\).
exo7 6175
Montrer que toute fonction réglée sur \([0,1]\) s’approche uniformément par des fonctions en escalier.
exo7 6187
Montrer que la boule unité fermée d’un evn de dimension finie est compacte.
exo7 6200
Soit \(E=C_b(\Rr)\) muni de la norme uniforme; pour \(f\in E\), on note ...
exo7 6205
Soit \(E=C([0,1])\), \(\mu(x)=\int_0^1 x(t)\ dt\), ...
exo7 6243
Soit \((f_n)\) une suite d’applications croissantes de \([0,1]\) dans ...
exo7 6247
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions réelles convergeant uniformément vers \(f\) ...
exo7 6263
Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) et ...
exo7 6319
On construit de proche en proche la suite de fonctions réelles \((y_n)\) par la relation ...
exo7 6335
On cherche à résoudre le problème \[x'= t^2 +t x\quad , \quad x(0) = 0 \; .\] Écrire l’équation intégrale as ...
exo7 6655
On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour \(0<t<2\pi\)
...
exo7 6740
Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
exo7 693
Soit \(g:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) une fonction telle que : ...
exo7 694
Donner un exemple de fonction qu’on ne puisse approcher à \(\epsilon\) près par des fonctions en escaliers.
exo7 695
On dit qu’un ensemble \(A\) de fonctions définies sur un intervalle \(I=[a,b]\) d ...
exo7 696
On dit qu’une suite \((f_{n})_{n\in \Nn}\) de fonctions définies sur \(I=[a,b]\) ...
exo7 7542
Soit \(d\) un entier naturel. Montrer qu’une suite de polynômes ...
exo7 7543
Montrer que la série \(\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{z+n}\) converge de façon compacte sur ...
exo7 7548
On définit \(\cosh z\) comme la somme de la série \(\sum \frac{z^{2n}}{(2n)!}\) e ...
exo7 7553
On rappelle que pour tout entier naturel \(n\), et tout nombre complexe \(z\), ...
exo7 7599
Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.
exo7 779
Soient \(f \in C^{1} ([a, b], \Rr)\) et ...
exo7 797
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue par morceaux, continue en ...
Introduction aux séries de Fourier
Peut-on reconstruire une fonction périodique à partir des fonctions ...