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Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : \[I = \int_0^1 \ln(t)\ln(1-t)\mathrm{d}t\] à l’aide d’un dével ...

Déterminer le domaine de convergence de la série entière ...

On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...

On considère la série entière \(\displaystyle S(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(3x)^n}{n^2+3n+2}\).

Soit la série entière \(\displaystyle \sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n\).

En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer ...

On considère la série entière : \[S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+2}x^n\]

Calculer le rayon \(R\) de convergence et déterminer le domaine \(D\) de converge ...

On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...

1. \question{ Vérifier que : $\forall n \in \N$, ...

Le but de cet exercice est de résoudre l’équation différentielle \[x(x-1)y''+3xy'+y=0\] avec les cond ...

À l’aide des développements en séries entières des fonctions usuelles, calculer les développements en séries entières en ...

Développer en série entière la fonction de la variable réelle suivante : \[f \colon x \mapsto \ln(x^2-5x+6)\]

Soit la fonction d’une variable réelle \(f \colon x \mapsto \ln(2+x-x^2)\).

Donner un développement en série entière de la fonction \(u \mapsto \ln(1-u)\), en précisant le rayon de convergen ...

Soit la fonction d’une variable réelle \(f \colon x \mapsto e^{x^2}-1\).

On supposera connues les relations suivantes : ...

On considère les fonctions \[f(x)=\frac{1}{3+\frac{x}{2}} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.\]

Soit la série entière d’une variable réelle définie par : ...

Déterminer le rayon de convergence de la série : \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n\] puis détermi ...

Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles suivantes :

On considère la série entière réelle \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{(n+1)x^n}{2^n}\).

Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles suivantes :

Soit \(f\) l’application de \(\Rr\) dans \(\Rr\) ...

Soit \(f\in C^{\infty }({\Rr},{\Rr})\) telle que ...

Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...

Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \([-1,1]\) à valeurs dan ...

Soit \(f\) une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période ...

1. Fonction Gamma - Pour tout \(x>0\), on pose ...

A

On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...

Soit \((a_n)\) une suite bornée de réels. On pose ...

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions convexes sur \([a,b]\) convergeant simpleme ...

Développer de deux manières \((1-e^x)^n\) en \(0\) à l’ordre ...

Soit \(\lambda\in\R\) et ...

On définit une suite de fonctions sur \([0,1]\) de la manière suivante : \(f_0\) ...

Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue telle que pour toute fonction ...

Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...

Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive décroissante.

...

A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ...

Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …

Chercher \(\lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,d t\).

On pose \(I(x) = \int_{t=0}^{\pi/2} \ln(\cos^2t + x^2\sin^2t)\,d t\).

Soit \(I(x) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\cos(2xt)\,d t\). Prouver que \(I\) e ...

On pose, pour \(x\) réel, ...

Soit \(\theta\in{]0,\pi[}\). Montrer que ...

On pose pour \(n\ge2\) : \(v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x\). Montrer que ...

Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...

Développer, pour tout \(x>0\), ...

Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...