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Soient \(m\) et \(n\) deux entiers ...

Soient \(a,b \in \N\). On pose \(m = \text{ppcm}(a,b)\) et ...

Soit \(b \in \N\setminus \{0,1\}\) et \(p \in \N\). Montrer que pour tout entier ...

Soit \(n \in \N^*\). Montrer qu’il existe \(p \in \N\) et ...

Soient \(n,p \in \N^*\) avec \(n < p!\). Montrer qu’il existe un unique ...

On note \(a_n = 25^n + 2^{3n+4}\).

Soient \(a\in\Z\) et \(b\in\N^*\). Montrer que : ...

Soit \(\sigma\) un \(k\)-cycle de \({\cal S}_n\) ...

Soient \(x,y\in \N\), \(y \ge 3\). Montrer par récurrence sur ...

Montrer que pour tout \(n \in \N\), \(3^{2n+1} + 2^{n+2}\) est divisible par ...

Déterminer le reste de la division euclidienne de \(2^{10n-7} + 3^{5n-2}\) par ...

Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9.

Montrer que pour tout entier \(n\in\Z\), \(n(2n+1)(7n+1)\) est divisible par 6. ...

Montrer sans calculatrice que \(2^{32} + 1\) est divisible par 641.

Infirmer ou justifier le critère de divisibilité par \(7\) suivant retrouvé ...

Soient \(a,m,n\ \in \N^{*}\), \(a\ge 2\), et ...

Soient \(a,b \in \N^*\) premiers entre eux. Montrer que : \(\forall\ x \ge ab\), ...

Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) les équations : ...

Montrer que la plus grande puissance de \(2\) divisant \(5^{(2^n)} - 1\) est ...

On suppose que \(a^r-1\) est un nombre premier. Montrez que \(r\) est premier, pu ...

On note \(M_n = 2^n - 1\) (\(n\)-ième nombre de Mersenne).

Soient \(a,n \in \N\) tels que \(a \ge 2\), ...

Trouver 1000 entiers consécutifs non premiers.

Soit \(n \in \N\), \(n \ge 2\). Montrer que ...

Montrer que si \(a\) divise \(42n+37\) et ...

Dresser la liste des cubes dans \(\Z/13\Z\).

Soit \(P \in {\Z[X]},\ n \in \Z\), et \(p = P(n)\). Montrer que ...

En divisant un nombre par \(8\), un élève a obtenu \(4\) pour reste ; en divisant ...

Soit \(P \in {\Z[X]}\) tel que \(P(x) = 7\) pour au moins 4 valeurs distinctes ...

Résoudre dans \(\mathbb{N}\) et dans \(\mathbb{Z}\) l’équation ...

Soient \(a,b\) des entiers supérieurs ou égaux à \(1\). Montrer :

Les nombres \(a\), \(b\), \(c\), ...

Soit \(a\in \Nn\) tel que \(a^{n}+1\) soit premier, montrer que ...

Soient \(a\) et \(b\) deux entiers supérieurs à 2 premiers entre eux, montrer que ...

Résoudre en nombres entiers naturels l’équation : \[(x+1)(y+2)=2xy.\]

Montrer que \((0,0,0)\) est le seul triplet \((x,y,z)\) d’entiers naturels tels q ...

Soit \(P \in {\Z}[X]\) et \(n \in {\Z}\) ; notons ...

Soit \(u_{n,k}\) le reste de la division du \(n\) par ...

Calculer les sommes suivantes : \(A = \sum_{(p,q)\in(\N^*)^2}\frac1{p^2q^2}\), ...

\(k\) est un entier impair. Montrer par récurrence que, pour \(n\geq1\), la somme ...

Pour \(n\geq1\), on pose \(H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\). Montrer que, pour ...

Montrer que pour \(n\in\Nn\), ...

Montrer que le premier de l’an tombe plus souvent un dimanche qu’un samedi.

Montrer que \(\forall n\in\Zz,\;6|5n^3+n\).

Un entier de la forme \(8n+7\) ne peut pas être la somme de trois carrés parfaits.

Montrer que la somme de cinq carrés parfaits d’entiers consécutifs n’est jamais un carré parfait.

Pour \(n\in\Nn\), on pose \(F_n=2^{2^n}+1\) (nombres de F ...

On veut résoudre dans \(\Zz^3\) l’équation \(x^2+y^2=z^2\) (de tels triplets d’en ...

Montrer que tout nombre impair non divisible par \(5\) admet un multiple qui ne s’écrit (en base ...

Soit \(P\) un polynôme à coefficients entiers relatifs de degré supérieur ou égal à ...