Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Sommes et produits
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Somme et produit d’une famille finie de nombres réels. | Notations $\displaystyle\sum_{i\in I} a_i$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i$, $\displaystyle\prod_{i\in I} a_i$, $\displaystyle\prod_{i=1}^{n} a_i$. Cas où $I$ est vide. |
Sommes et produits télescopiques, exemples de changements d’indices et de regroupements de termes. Expressions simplifiées de $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} x^k$. Factorisation de $a^n - b^n$ par $a - b$. | Dans la pratique, on est libre de présenter les calculs avec des points de suspension. |
Sommes doubles. Produit de deux sommes finies. | Exemples de sommes triangulaires. |
Rappels sur la factorielle, les coefficients binomiaux. | Convention $\dbinom{n}{k} = 0$ pour $k < 0$ et $k > n$. |
Formule du binôme dans $\mathbb{R}$. |
exo7 2911
Soit \(u_n = \sum_{p=0}^n C_{n-p}^p\). Montrer que \(u_0 = u_1 = 1\) et : ...
exo7 2940
Soit \(\omega = \exp\frac {2i\pi}n\). Calculer :
exo7 2943
Soit \(z = \exp\frac {2i\pi}7\) et \(u = z + z^2 + z^4\), ...
exo7 2944
Simplifier \(x = \prod_{p=2}^n\frac {p^3-1}{p^3+1}\) en utilisant \(1,j,j^2\). ...
exo7 2952
Simplifier :
exo7 2957
Simplifier \[\sum_{k=1}^n\, \frac 1 {2^k \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta \dots \cos2^{k-1}\theta}.\]
exo7 2958
Soit \(n \in \N\), et \(x \in \R\). Exprimer ...
exo7 3056
Soient \(n,p \in \N^*\) avec \(n < p!\). Montrer qu’il existe un unique ...
exo7 3090
Soit \(n\in\N\), \(n\ge 2\). Montrer que si ...
exo7 3091
Soit \(p \in \N\) premier. Montrer que pour \(1 \le k \le p-1\), ...
exo7 3099
Soient \(a,b \in \Z\) et \(n \in \N^*\). Montrer que : ...
exo7 3144
Soit \(x=\frac pq \in \Q^*\) avec \(p,q\) entiers, ...
exo7 339
Soit \(p\) un nombre premier.
exo7 3912
Calculer \(\mathrm{cotan} x - 2\mathrm{cotan}2x\). Simplifier ...
exo7 4228
Trouver \(\lim_{n\to\infty} \frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} + \dots + \frac 1{kn}\) pour ...
exo7 4279
Calculer par récurrence : \(I_n = \int_{t=0}^1 \frac{t^n\,d t}{\sqrt[4]{t^3(1-t)}}\).
exo7 4430
Calculer les sommes des séries suivantes :
exo7 4433
On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...
exo7 4435
Pour quelles valeurs de \(a,b\in \R\) la série de terme général ...
exo7 4473
Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...
exo7 4579
Quel est le coefficient de \(x^n\) dans ...
exo7 46
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) et tout nombre \(z\in\mathbb{C}\), on ...
exo7 47
Calculer la somme \(S_n = 1+z+z^2+\cdots+z^n\).
exo7 48
Résoudre \(z^3 = 1\) et montrer que les racines s’écrivent \(1\), ...
exo7 498
Soient \(n\in \Nn^{*},\) et \((x_{1},x_{2},...,x_{n})\in \Rr^{n}\) tels que ...
exo7 499
Soient \(n\in \Nn^{*},\) et \((x_{1},x_{2},...,x_{n})\in [0,1]^{n}\), montrer que ...
exo7 501
Montrer : \[\forall n\geq 1,\forall x\in \Rr,\sum\limits_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})=E(nx).\]
exo7 5070
Calculer \(\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)\) pour \(a\) élément don ...
exo7 5080
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5090
Calculer \(u_n=\Arctan\frac{2}{1^2}+\Arctan\frac{2}{2^2}+...+\Arctan\frac{2}{n^2}\) pour ...
exo7 5093
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sh(2+x)+\sh(2+2x)+...+\sh(2+100x)=0\).
exo7 5094
Montrer que pour tout réel \(x\) non nul, on a : ...
exo7 51
Soit \(\epsilon\) une racine \(n\)-ième de l’unité ; calculer ...
exo7 5108
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\Nn^*\), ...
exo7 5109
Montrer par récurrence que, pour tout naturel non nul \(n\), ...
exo7 5132
Montrer que les solutions de l’équation \(1+z+z^2+...+z^{n-1}-nz^n=0\) sont de module inférieur ou égal à ...
exo7 5137
La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
exo7 5138
Quel est le coefficient de \(a^4b^2c^3\) dans le développement de \((a-b+2c)^9\). ...
exo7 5139
Développer \((a+b+c+d)^2\) et \((a+b+c)^3\).
exo7 5140
Soit \((n,a,b)\in\Nn^*\times]0,+\infty[\times]0,+\infty[\). Quel est le plus grand terme du développement de ...
exo7 5141
Résoudre dans \(\Nn*\) l’équation \(\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\binom{n}{3}= 5n\). ...
exo7 5142
Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique.
exo7 5143
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5145
(*) Calculer \(\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})\), \(n\in\Nn^*\).
exo7 5147
Montrer que, pour \(a\) réel positif et \(n\) entier naturel donnés, ...
exo7 5149
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), ...
exo7 5150
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), \(a_2\),..., ...
exo7 5156
Montrer que : \(\forall n\in\Nn^*,\;\forall x\in\Rr,\;\sum_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})=E(nx)\) (poser la division ...
exo7 5158
Soit \(n\in\Nn^*\).
exo7 5161
Montrer que \(\forall n\in\Nn,\;(n\geq3\Rightarrow\sqrt{n}<\sqrt[n]{n!})\).
(commencer par vérifier que ...