Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle et on développe l’étude des fonctions convexes amorcée en terminale. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A, +\infty[$ si $a = +\infty$, avec un intervalle $]-\infty, A[$ si $a = -\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 717
Montrer que le polynôme \(X^n+aX+b\), (\(a\) et ...
exo7 718
Soit \(f\) une fonction \(n\) fois dérivable sur ...
exo7 720
Soit \(f\) une fonction continue et dérivable sur \([a,+\infty[\) et telle que ...
exo7 721
Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction \[f(x) =\alpha x^2+\beta x+\gamma\] sur l’i ...
exo7 722
Appliquer la formule des accroissements finis à la fonction \[f(x)=a+bx+ce^{\alpha x}\] (où ...
exo7 723
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \([a,a+2h]\). Par introduction de ...
exo7 724
Soient \(x\) et \(y\) réels avec \(0<x<y\) ...
exo7 725
Par application du théorème des accroissements finis à \(f(x) = \ln x\) sur ...
exo7 7253
On dit qu’une partie \(X\) du plan (ou de l’espace) est convexe si elle vérifie: ...
exo7 726
Étant donné \(\alpha\) dans \(]0,1[\), montrer que pour tout entier naturel ...
exo7 727
Montrer que pour tout \(x \in \Rr\), ...
exo7 728
Soit \(f: \Rr \longrightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = (1-k)^3x^2+(1+k)x^3\) où ...
exo7 729
Appliquer la règle de l’Hôpital aux calculs des limites suivantes : ...
exo7 730
Calculer \[\lim_{x\rightarrow 0}\ \ \frac{\cos (x^4)-1}{x^4e^x} ;\]
...
exo7 731
Soit \(f \in C^2 (\Rr)\) telle que ...
exo7 732
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) dérivable telle que ...
exo7 733
Déterminer les extremums de \(f (x) = x^4-x^3 + 1\) sur \(\Rr\).
exo7 735
Trouver les fonctions \(f:{\Rr\rightarrow \Rr}\) dérivables en \(0\) telles que : ...
exo7 736
Soit \(f\) dérivable sur \({\Rr }\) telle que ...
exo7 737
Soit \(f\in C^{1}([0;1],{\Rr}),\)telle que \(f(0)=0.\) Calculer : ...
exo7 738
Soient \(f,g :[a , b] \longrightarrow \R\) deux fonctions continues sur ...
exo7 739
Soit \(n \geq 2\) un entier fixé et ...
exo7 740
On considère la fonction \(f : \R \to \R\) définie par ...
exo7 745
Une statue de hauteur \(s\) est placée sur un piédestal de hauteur \(p\).
exo7 7452
On considère dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé la courbe \(C\) d’équation polaire ...
exo7 758
Montrer qu’il n’existe pas de fonction \(f:[1;+\infty [\rightarrow \Rr\) vérifiant: ...
exo7 759
Calculer : ...
exo7 772
Préciser les comportements
de \(\displaystyle{x\mapsto \frac{x^2-e^x}{x-e}}\) quand ...
exo7 774
Déterminer \(\lim\limits_{ + \infty} (x-\ln (\text{ch}x))\).
exo7 778
Déterminer les fonctions \(f\) de \([a, b]\) dans ...
exo7 781
Soit \(f \in C^{0} ([0, 1], \Rr)\) telle que \(\int_{0}^{1}{f (t)dt} = \frac 12\) ...
exo7 782
Soit \(f \in C^0 (\Rr)\). On définit \({g} : {\Rr^*} \to {\Rr}\), ...
exo7 783
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans ...
exo7 784
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue strictement croissante telle que : ...
exo7 785
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue, n’admettant qu’un nombre fini de zéros sur ...
exo7 787
Soit \(f\) continue sur \([0,\pi ]\) telle que ...
exo7 791
Soit \((a,b)\in {\Rr}^{2}\) (\(a<b\)), et ...
exo7 793
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans \({\Rr}\) ...
exo7 796
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+x}dx.\] Soit ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
exo7 800
Soit \(f\) une fonction continue et strictement croissante de \([a,b]\) sur ...
exo7 801
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions intégrables sur ...
exo7 802
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \([0,1]\), vérifiant :
exo7 803
Soit \(f\) définie et continue sur \([0,+\infty\mathclose[\), vérifiant ...
exo7 804
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \([a,b]\), vérifiant ...
exo7 842
Soient \(f\) et \(g\) continues de \([0,1]\) dan ...
exo7 857
Soit \(f\in C^{1}({\Rr},\Cc),\alpha \in {\Rr}^{+*}.\) Montrer que si : ...
exo7 874
Trouver les \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) deux fois dérivables telles que ...
exo7 882
Soit \(p\) continue positive non nulle ; montrer que toute solution de ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...