Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle et on développe l’étude des fonctions convexes amorcée en terminale. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A, +\infty[$ si $a = +\infty$, avec un intervalle $]-\infty, A[$ si $a = -\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 3855
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue ayant une limite ...
exo7 3856
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) continue. Montrer qu’il existe \(x \in {[0,1]}\) ...
exo7 3857
Soit \(f : \R \to \R\) continue décroissante. Montrer qu’il existe un unique réel ...
exo7 3858
Soit \(f : \R \to \R\) continue telle qu’existe \(a\) vérifiant ...
exo7 3859
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue telle que \(f(0) = f(1)\).
exo7 3860
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues. On suppose que : ...
exo7 3861
Soit \(f : \R \to \R\). On dit que \(f\) vérifie la propriété des valeurs intermé ...
exo7 3862
Soit \(I\) un intervalle borné et \(f : I \to \R\) uniformément continue. Montrer ...
exo7 3863
Soit \(f : \R \to \R\) uniformément continue. Montrer qu’il existe ...
exo7 3864
Soient \(f : D \to \R\) uniformément continue bornée et \(g : \R \to \R\) continu ...
exo7 3865
Montrer que \(t \mapsto \sin(t^2)\) n’est pas uniformément continue sur \(\R\). ...
exo7 3866
Soit \(f : \R \to \R\) uniformément continue telle que \(f(n) \to +\infty\) lorsq ...
exo7 3867
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) telle que : ...
exo7 3868
Trouver toutes les fonctions \(f : {[0,1]} \to {\R}\) continues telles que : ...
exo7 3870
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), à valeurs dans ...
exo7 3871
Soient \({f,g} : {[0,1]} \to {[0,1]}\) continues telles que ...
exo7 3873
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction uniformément continue telle que pour tout ...
exo7 3875
Soit \(f : {]0,+\infty[} \to {\R}\) croissante telle que ...
exo7 3876
On pose : ...
exo7 3877
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) une fonction bornée.
On note ...
exo7 3878
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) monotone. Pour \(x \in {]a,b[}\), on pose ...
exo7 3879
Soit \(f : {\R} \to {\R.}\) On dit que \(f\) est localement croissante si : ...
exo7 3880
Soit \(f : {]0,1]} \to {\R}\) uniformément continue. Pour \(x \in {]0,1]}\) on po ...
exo7 3881
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue telle que \(f_{|\Q}\) est strictement croissa ...
exo7 3883
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. Montrer qu’il existe ...
exo7 3884
Soit \(f : \R \to \R\) continue telle que : ...
exo7 3885
Soit \(f : \R \to \R\) vérifiant : ...
exo7 3886
Montrer que : \(\forall\ x > 0,\ x - \frac {x^2}2 < \ln(1+x) < x\).
En déduire ...
exo7 3888
Montrer que : \(\forall\ t > 1,\ \left(1+\frac 1t\right)^t < e < \left(1+\frac 1{t-1}\right)^t\).
exo7 3889
Soient \(0 < a < b\). Montrer que la fonction ...
exo7 3893
Calculer \(\sum_{k=0}^n\,\ch(kx)\).
exo7 3895
Soit \(x \in \R^*\). Vérifier que \(\tanh x = 2\coth 2x - \coth x\). En déduire l ...
exo7 3896
Soit \(x \in \R^*\). Vérifier que \(\frac1{\sh x} = \coth \frac x2 - \coth x\). E ...
exo7 3903
Soient \(0 < a_1 < a_2 < \dots < a_p\) des réels fixés.
exo7 3904
Soit \({f} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}\) telle que : ...
exo7 3909
Montrer qu’il existe \(\theta \in {]0, \frac \pi2 [}\) tel que pour tout ...
exo7 3930
A l’aide d’un changement de variable judicieux, trouver \(\lim_{x\to0^+} \frac {\arccos(1-x)}{\sqrt x}\).
exo7 3932
Soit \(f:\R \to \R\) continue en \(0\). Montrer que ...
exo7 3935
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable et \(a \in \R\) tel que ...
exo7 3936
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable. Montrer que \(|f|\) admet en tout point une dériv ...
exo7 3937
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable et bornée telle que ...
exo7 3938
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f'(x) \to \ell\) lorsque ...
exo7 3940
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable.
exo7 3941
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable.
exo7 3942
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) dérivables avec : ...
exo7 3943
Trouver \(\lim_{x\to\pi/4} \frac {\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x}\).
exo7 3944
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) dérivable telle que \(f(a) = f(b) = 0\), et ...
exo7 3945
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable telle que \(f'(a) = f'(b)\).
...exo7 3946
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable, telle que \(f(a) = f(b) = 0\). Montrer que ...
exo7 3947
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) \(n\) fois dérivable.