Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
c) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment à valeurs dans $\mathbb{K}$. | Le programme n’impose pas de construction particulière. Interprétation géométrique de l’intégrale. Notations $\displaystyle\int_{[a,b]} f$, $\displaystyle\int_a^b f$, $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. |
Linéarité, positivité et croissance de l’intégrale. Inégalité triangulaire intégrale : $\left\lvert \displaystyle\int_{[a,b]} f \right\rvert \leqslant \displaystyle\int_{[a,b]} \lvert f\rvert$. | |
Relation de Chasles. | Extension de la notation $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ au cas où $b \leqslant a$. Propriétés correspondantes. |
Si $f$ est continue, à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et si $\displaystyle\int_{[a,b]} f = 0$, alors $f = 0$. | |
Intégrale d’une fonction paire ou impaire sur un segment centré en 0. Intégrale d’une fonction périodique sur un intervalle de période. | Valeur moyenne d’une fonction continue par morceaux sur un segment. |
exo7 2097
Soit \(\displaystyle I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}d x\).
exo7 2098
Calculer \(\int_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}d x\) (on posera \(\theta =\arcsin \frac xR\) ...
exo7 2315
Soit \(f\) une fonction continue définie sur un intervalle borné ...
exo7 2316
Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([a,b]\subset\Rr\), à valeurs ...
exo7 2317
Soit \(f : [0,1]\to \Rr\) une fonction continue.
exo7 2318
Sans calculer les intégrales, montrer que \[\int_0^{\pi /2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi /2} \cos^n x dx.\]
exo7 2321
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2322
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2323
Soit \(f\) une fonction continue dans \([0,\pi]\). Montrer, en utilisant un chang ...
exo7 2324
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions réelles périodiques de période ...
exo7 2326
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2327
Calculer les intégrales ...
exo7 2328
Soient \(a \neq 0\) un réel, et \(y>x>0\).
exo7 2329
Soit \(x>0\) un réel. Calculer les valeurs de ...
exo7 2330
Fonction Gamma - Pour tout \(x>0\), on pose ...
exo7 2331
Sans les calculer, dire si les intégrales suivantes sont convergentes ou divergentes : ...
exo7 2332
Sans les calculer, dire si les intégrales suivantes sont convergentes ou divergentes : ...
exo7 2333
Soit \(n \ge 0\) un entier. Montrer que l’intégrale ...
exo7 2334
On définit \[F(x) = \int_0^x {\sin t\over t}\ dt\] et pour tout \(n \in \Nn\), o ...
exo7 2336
Pour tous \(n\), \(p\) dans \(\Nn\), on définit ...
exo7 2337
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\left[0,1\right[\) par ...
exo7 2338
Dire si les intégrales suivantes sont convergentes (en discutant éventuellement suivant la valeur des paramètres) : ...
exo7 2339
Montrer la convergence des intégrales suivantes puis les calculer : ...
exo7 2354
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...
exo7 2658
Le but de cet exercice est de montrer que \[\forall n\geq3 \quad \pi(2n+1)\geq \ln2\times{2n+1 \over \ln(2n+1)}\] ...
exo7 2722
Montrer qu’il existe deux réels \(\alpha\), \(\beta\), tels que pour tout ...
exo7 3018
On pose
...
exo7 3260
Trouver \(a,b,c,d \in \R\) tels que : ...
exo7 3521
Soit \(E = \mathcal{C}([0,+\infty[ \to\R)\) et ...
exo7 3676
Soient \({f_1,f_2,\dots,f_n} : {[0,1]} \to {\R}\) continues.
Existe-t-il ...
exo7 3689
Soit \(P \in \R[X]\) de degré inférieur ou égal à 3 tel que ...
exo7 3727
Soit \({f_1,\dots,f_n} : I \to \R\) des fonctions continues de carrés intégrables sur l’intervalle ...
exo7 3803
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...
exo7 3827
Calculer le minimum sur \(\R^2\) de ...
exo7 3828
Soit \(\varphi : {\R^n} \to \R\) définie par ...
exo7 3836
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions : \([a,b] \to \R^{+*}\) continues et ...
exo7 3841
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \(u : {[a,b]} \to \R\) une fonction continu ...
exo7 3939
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue telle que ...
exo7 3977
Montrer que pour tout \(x\) réel, il existe \(a(x)\) unique tel que ...
exo7 4003
Soit \(f\) continue et croissante sur \(\R^+\). On pose ...
exo7 4063
Soit \(E=\mathcal{C}(\R^+,\R)\), \(b\in \R\) et ...
exo7 4073
Trouver les applications \(g : {\R^+} \to {\R^+}\) continues vérifiant pour tout ...
exo7 4074
Soient \({a,b} : \R \to \R\) continues, et \(y,z\) solutions de ...
exo7 4078
Soit \(E = \{ \text{fcts : } [0,1] \to \R \text{ continues } \}\) et ...
exo7 4079
Soit \(k\in\R^*\) fixé. On considère : ...
exo7 4088
Soient \(f,g\) deux fonctions continues et \(a\in\R\) vérifiant : ...
exo7 4089
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4092
Soit \({a,b} : \R \to \R\) continues telles que : \(\forall\ x\in\R,\ a(x)\ge 1\) ...
exo7 4105
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4109
Soient \({f,g}: \R \to \R\) continues et \(k>0\), ...