Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
c) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment à valeurs dans $\mathbb{K}$. | Le programme n’impose pas de construction particulière. Interprétation géométrique de l’intégrale. Notations $\displaystyle\int_{[a,b]} f$, $\displaystyle\int_a^b f$, $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. |
Linéarité, positivité et croissance de l’intégrale. Inégalité triangulaire intégrale : $\left\lvert \displaystyle\int_{[a,b]} f \right\rvert \leqslant \displaystyle\int_{[a,b]} \lvert f\rvert$. | |
Relation de Chasles. | Extension de la notation $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ au cas où $b \leqslant a$. Propriétés correspondantes. |
Si $f$ est continue, à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et si $\displaystyle\int_{[a,b]} f = 0$, alors $f = 0$. | |
Intégrale d’une fonction paire ou impaire sur un segment centré en 0. Intégrale d’une fonction périodique sur un intervalle de période. | Valeur moyenne d’une fonction continue par morceaux sur un segment. |
Calcul d'intégrales définies
Calculer les intégrales suivantes :
Changement de variable, intégration par parties et intégrale impropre
On rappelle que \(\sin^3 t = \sin t\,(1 - \cos^2 t)\).
Développement en série et étude de suites définies par des équations polynomiales
On supposera connues les relations suivantes : ...
exo7 1273
Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction de classe \(C ^1 .\) Montrer qu ...
exo7 1274
Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction continue telle que \(f(0)=0 .\) ...
exo7 1275
Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction intégrable.
exo7 1276
Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction continue. Montrer que ...
exo7 1277
Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que ...
exo7 1278
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) avec ...
exo7 1280
Donner la nature des intégrales suivantes : ...
exo7 1281
Montrer que \(\forall x>-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.\)
exo7 1282
Étude de : \[f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\] ...
exo7 1284
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1285
Étudier la fonction : \[h:x\rightarrow \int_{x}^{x^{2}}\frac{dt}{\log t}.\] Domaine de définition, continuité et ...
exo7 1286
Donner un exemple d’une fonction continue positive telle que : \[\int_{0}^{\infty }f(u)du\] existe mais telle qu’ ...
exo7 1287
Soit \(f\) une fonction positive décroissante de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1288
Soit \(f\) une application continue par morceaux de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1289
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1290
Étudier la nature de \[\int_{0}^{\infty }\frac{\sin t}{t^{\alpha }}dt\] selon ...
exo7 1291
Convergence et calcul de : ...
exo7 1292
Soit \(f:[1,\infty [\rightarrow {\Rr}^{+}\) continue telle que ...
exo7 1296
Nature de : ...
exo7 1297
Nature et calcul de : ...
exo7 1299
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de ...
exo7 1300
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) continue, tendant vers \(\ell\) en ...
exo7 1301
Calculer : ...
exo7 1378
Soit \(\sigma\) un automorphisme de \(\Rr\).
exo7 1460
Montrer que ...
exo7 1461
Rappeler l’énoncé de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Montrer que pour toute fonction continue d’un segment ...
exo7 1462
Soit \(E = \left\{ f : \Rr \rightarrow \Rr \text{ continue $2\pi$-périodique}\right\}\). Montrer que ...
exo7 1492
Calculer : \[\inf\limits_{(a,b)\in {\Rr}^{2}}\int_{0}^{1}x^{2}\left| \ln x-ax-b\right|^{2}dx.\]
exo7 1739
Soit \(g\in C({\Rr},{\Rr})\), montrer que \(g\) est convexe si et seulement si : ...
exo7 1889
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(C^1\) sur ...
exo7 1895
On munit \(C[0,1]\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à v ...
exo7 1896
On munit \(E\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à valeur ...
exo7 1907
Calculer \(I_1 = \iint\limits_{D} (x + y)e^{-x}e^{-y}dxdy\) où ...
exo7 1941
Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’intégrale généralisée suivante ...
exo7 1950
Soit \(f\) une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période ...
exo7 2049
Tracer la courbe paramétrée définie par : ...
exo7 2081
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,4]\) par ...
exo7 2082
Soient les fonctions définies sur \(\R\), ...
exo7 2083
Calculer l’intégrale de \(f:[a,b]\rightarrow \R\) comme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants: ...
exo7 2084
Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?
exo7 2085
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) une fonction continue sur \([a,b]\) ( ...
exo7 2086
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) continue, positive; on pose ...
exo7 2087
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\R}\) une application strictement croissante telle que ...
exo7 2093
Soit \(F(x)=\displaystyle \int_x^{x^2}\frac{1}{\ln t}d t\)
exo7 2094
Calculer les intégales suivantes: ...
exo7 2095
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2096
Soit \(\displaystyle I_n=\int_0^{\frac \pi 2}(\sin x)^n \, d x\) pour ...