Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Limite d’une fonction en un point
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Étant donné un point $a$ de $\overline{\mathbb{R}}$ appartenant à $I$ ou extrémité de $I$, limite finie ou infinie d’une fonction en $a$. | Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges. |
Unicité de la limite. Si $f$ est définie en $a$ et possède une limite en $a$, alors $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$. Si $f$ possède une limite finie en $a$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$. | Notations $f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell$, $\lim\limits_{x\to a} f(x)$. |
Limite à droite, limite à gauche. | Notations $\lim\limits_{\substack{x\to a\\ x>a}} f(x)$ ou $\lim\limits_{x\to a^+} f(x)$. |
Caractérisation séquentielle de la limite (finie ou infinie). Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient, composition. Passage à la limite d’une inégalité large. Existence d’une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite $+\infty$),par majoration (limite $-\infty$). Théorème de la limite monotone. |
exo7 607
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) contenant ...
exo7 609
Démontrer que \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{ x}=1}\).
exo7 610
Soit \(f\) une fonction de variable réelle telle que ...
exo7 611
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 612
Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en \(+\infty\).
exo7 613
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et ...
exo7 614
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes à coefficients réels de degré respectif ...
exo7 615
Soit \(f : \Rr^+ \rightarrow \Rr^+\) croissante telle que ...
exo7 616
Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes ...
exo7 617
Montrer que pour tout \(0<\epsilon <1\) et pour \(x \in \mathbb{R},\) on a: ...
exo7 618
Montrer que pour tout \(a \in \mathbb{R}^{+*},\) et pour tout couple de nombres réels ...
exo7 6197
Trouver l’ensemble des valeurs d’adhérence quand \(x\to 0\) de ...
exo7 620
Rappeler que pour tout nombre réels \(\epsilon > 0\) il existe un entier \(n\) ...
exo7 621
Déterminer les limites suivantes: ...
exo7 622
On rappelle les limites : ...
exo7 623
Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.
exo7 624
Soient \(a,b\) des réels positifs. \(E(x)\) désigne la partie entière de ...
exo7 625
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 626
En utilisant la définition d’une limite, montrer que : ...
exo7 627
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 629
Déterminer les limites suivantes : \[\frac{x}{2 + \sin (\frac 1x)} \qquad \text{ en } 0\]
...
exo7 630
Étudier les asymptotes de \(f (x) = e^{\frac 1x}\sqrt{x (x + 2)}\).
exo7 631
Montrer que \[\frac{\ln (x)}{x^\alpha} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}} \text{ où } \alpha > 0.\] En déduire ...
exo7 632
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 633
Calculer : ...
exo7 634
Calculer : \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{(\sin x)^{2}}-\frac{1}{(\sinh x)^{2}}\right).\]
exo7 635
Calculer : ...
exo7 636
Trouver : \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{x^{x}}\ln x}{x^{x}-1}\]
exo7 638
Trouver pour \((a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}\) : ...
exo7 644
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr^ +\) continue telle que \(f (0) = 1\), ...
exo7 646
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) continue admettant une limite finie en ...
exo7 650
Soit \(f\) périodique croissante. Que dire de \(f\) ?
exo7 654
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) croissante telle que ...
exo7 655
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) une fonction vérifiant : ...
exo7 663
Soit \(f\) uniformément continue sur \({\Rr}^{+}\) telle que ...
exo7 668
Soit \(f\) continue de \({\Rr}\) dans \({\Rr}\), ...
exo7 670
Soit \(f : \R\setminus\{1/3\}\rightarrow \R\) telle que ...
exo7 672
Etudier la continuité de \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 678
Étudier la continuité sur \(\Rr\) des fonctions suivantes :
exo7 6973
Montrer que pour tout \(x>0\), on a ...
exo7 6975
Simplifier l’expression \(\displaystyle\frac{2\ch^2(x)-\sh(2x)}{x-\ln(\ch x)-\ln 2}\) et donner ses limites en ...
exo7 720
Soit \(f\) une fonction continue et dérivable sur \([a,+\infty[\) et telle que ...
exo7 729
Appliquer la règle de l’Hôpital aux calculs des limites suivantes : ...
exo7 730
Calculer \[\lim_{x\rightarrow 0}\ \ \frac{\cos (x^4)-1}{x^4e^x} ;\]
...
exo7 732
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) dérivable telle que ...
exo7 758
Montrer qu’il n’existe pas de fonction \(f:[1;+\infty [\rightarrow \Rr\) vérifiant: ...
exo7 759
Calculer : ...
exo7 772
Préciser les comportements
de \(\displaystyle{x\mapsto \frac{x^2-e^x}{x-e}}\) quand ...
exo7 774
Déterminer \(\lim\limits_{ + \infty} (x-\ln (\text{ch}x))\).
exo7 782
Soit \(f \in C^0 (\Rr)\). On définit \({g} : {\Rr^*} \to {\Rr}\), ...