Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Identification du cercle trigonométrique et de l’ensemble des nombres complexes de module 1. Définition de $\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ pour $t \in \mathbb{R}$. Exponentielle d’une somme. | Notation $\mathbb{U}$. |
Formules d’Euler. Technique de l’angle moitié : factorisation de $1 \pm \mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$, de $\mathrm{e}^{\mathrm{i}p} \pm \mathrm{e}^{\mathrm{i}q}$. | Les étudiants doivent savoir retrouver les formules donnant $\cos(p) \pm \cos(q)$, $\sin(p) \pm \sin(q)$. Linéarisation, calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \cos(kt)$ et de $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \sin(kt)$. |
Formule de Moivre. | Les étudiants doivent savoir retrouver les expressions de $\cos(nt)$ et $\sin(nt)$ en fonction de $\cos t$ et $\sin t$. |
exo7 10
Établir les égalités suivantes :
exo7 13
Déterminer le module et l’argument des nombres complexes : ...
exo7 177
Montrer que : \[2\cos \frac{\pi}{2^n} = \sqrt{2+\sqrt{2+\ldots\sqrt{2}}}.\]
exo7 18
Calculer les puissances \(n\)-ièmes des nombres complexes : ...
exo7 1843
\(S=\{ z\in \Cc ; \vert z\vert = 1\} .\) Soit \(f\) l’application de ...
exo7 19
Comment choisir l’entier naturel \(n\) pour que \((\sqrt{3}+i)^n\) soit un réel ? ...
exo7 192
L’application \(f : \Cc\setminus{\{0\}} \rightarrow \Cc, \ z\mapsto z+1/z\) est-elle injective ? surjective ? bije ...
exo7 1950
Soit \(f\) une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période ...
exo7 20
Soit \(z\) un nombre complexe de module \(\rho\), d’argument ...
exo7 200
Soit \(f:\Rr \rightarrow \Cc, \ t\mapsto e^{it}\). Changer les ensembles de départ et d’arrivée afin que (la restr ...
exo7 2083
Calculer l’intégrale de \(f:[a,b]\rightarrow \R\) comme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants: ...
exo7 21
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels. Mettre le nombre complexe ...
exo7 22
Écrire l’expression \((1+\cos \phi+i\sin \phi)\) sous forme trigonométrique. En déduire l’expression de ...
exo7 23
Mettre sous forme trigonométrique \(1 + e^{i\theta}\) où ...
exo7 25
Montrer algébriquement et géométriquement que si \(\left|z\right| = 1\) alors ...
exo7 2729
Montrer que les ensembles \(G\) suivants, munis des lois \(\star\) données, sont ...
exo7 2749
Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{Z}\), avec successivement ...
exo7 2926
Soit \(f : {\C\setminus\{i\}} \to {\C\setminus\{1\}}, z \mapsto {\frac {z+i}{z-i}}\)
exo7 2927
Soient \(a,b \in \mathbb{U}\) distincts et \(z \in \C\). On note ...
exo7 2931
Trouver \(a,b,c \in \mathbb{U}\) tels que ...
exo7 2939
Résoudre :
exo7 2951
A l’aide de formules du binôme, simplifier :
exo7 2952
Simplifier :
exo7 2953
Soit \(a \in \R\). Résoudre : ...
exo7 2956
Résoudre en \(x\) : ...
exo7 2958
Soit \(n \in \N\), et \(x \in \R\). Exprimer ...
exo7 2959
Soit \(z \in \mathbb{U}\). Peut-on trouver \(a \in \R\) tel que ...
exo7 3304
Soit \(E\) l’ev \(\R^\R\), \(F\) le sev engendré ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 4403
Quels sont les complexes \(z\) tels que \(\cos z \in {[-1,1]}\) ?
exo7 4406
Soit \(z=x+iy\in\C\) avec \(x,y\in\R\) et ...
exo7 4408
Montrer qu’il existe une infinité de complexes \(z\) tels que \(e^z = z\) (on cal ...
exo7 4410
Calculer \(\sup\{|\cos z| \text{ tel que } |z|\le 1\}\) et ...
exo7 4560
[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]
exo7 4587
Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{2^n}\) et ...
exo7 46
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) et tout nombre \(z\in\mathbb{C}\), on ...
exo7 4901
Montrer que le support de la courbe paramétrée : \(\begin{cases} x = \cos t\cr y = \cos t+\sin t\cr\end{cases}\) e ...
exo7 5069
Montrer que \(\sum_{}^{}\cos\left(\pm a_1\pm a_2\pm...\pm a_n\right)=2^n\cos a_1\cos a_2...\cos a_n\) (la somme co ...
exo7 5072
Soit \(a\) un réel distinct de \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) et ...
exo7 5075
On veut calculer \(\cos\frac{2\pi}{5}\) et \(\sin\frac{2\pi}{5}\). Pour cela, on ...
exo7 5077
Calculer \(I=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^4x\sin^6x\;dx\) et ...
exo7 5080
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5081
Résoudre le système ...
exo7 5083
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\cos(3x)=\sin(2x)\).
exo7 5122
Soit \(\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\) donné. Résoudre dans ...
exo7 5128
On note \(U\) l’ensemble des nombres complexes de module \(1\). Montrer que :
...exo7 5129
Forme trigonométrique de \(\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}\) et de ...
exo7 5130
Calculer \((1+i\sqrt{3})^9\).
exo7 5195
\((ABC)\) est un vrai triangle.