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Soit le polynôme \(P \in \R[X]\) défini par : \[P(X) = (X^{2}+1)^2-X^2.\]

Considérons les deux fractions rationnelles \(P\) et \(Q\) suivantes: ...

Calculer la division euclidienne de \(X^5+1\) par \(X^4-2 X^3+X^2\).

Vérifier que le polynôme \(B(X)=X^2-X+1\) est irréductible sur \(\mathbb{R}[X]\). ...

Pour chacune des fractions rationnelles, indiquer s’il s’agit d’un élément simple dans \(\mathbb{R}(X)\).

Soit \(A\) un anneau quelconque. Alors l’anneau de polynômes \(A[x]\) n’est pas u ...

Trouver tous les polynômes irréductibles de degré \(2\), \(3\) à coefficients dan ...

En utilisant les réductions \(\!\mod 2\) ou \(\!\mod 3\) montrer que les polynôme ...

Soient \[f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_n)-1,\quad g(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\dots (x-a_n)^2+1\] où ...

Soient \(f,g\in \Qq[x]\). Supposons que \(f\) soit ...

Trouver les facteurs multiples des polynômes suivants :

Trouver \(P,Q \in {\R[X]}\) premiers entre eux tels que \(P^2 + Q^2 = (X^2+1)^2\) ...

Déterminer tous les polynômes \(P\) tels que ...

Soit \(P\in\R[X]\). Montrer :

(\(\forall\ x\ge 0,\ P(x) > 0\)) ...

Factoriser \(X^n-1\) sur \(\C\).

Montrer que \(X^2-2X\cos\theta+1\) divise \(X^{2n}-2X^n\cos n\theta+1\). Pour ...

Factoriser \(P(X) = 3X^4 + 11X^3 + 20X^2 + 7X - 5\), sachant qu’il existe des racines rationnelles.

Trouver les racines de \(P(X) =X^4-3X^3+6X^2-15X+5\) sachant que deux racines, ...

Soit \(P = X^5 + aX^2 + 15X - 6i\). Trouver \(a \in \C\) tel que ...

Quels sont les polynômes \(P \in { K[X]}\) tels que \(P'\) divis ...

Trouver tous les polynômes \(P \in {\C[X]}\) tels que …

Soient \(P,Q \in {\C[X]}\) tels que : \(\forall\ z \in \C,\ |P(z)| = |Q(z)|\). D ...

Soit \(P = X^4 - 6X^3 +7X^2 -18X - 8\).

Trouver \(Q \in {\R[X]}\) tel que ...

Soient \(P,Q \in {\Q[X]}\). Montrer que \(P\) et ...

Factoriser \(X^8 + X^4 + 1\) sur \(\R\).

Démontrer que \(1 + (X-1)^2(X-3)^2\) est irréductible dans ...

Soit \(K\) un sous-corps de \(\C\), \(a\in K\) e ...

Trouver \(\lambda \in \R\) tel que \(2X^3 + 5X^2 - X + \lambda\) ait une racine d ...

Décomposer en éléments simples sur \(\R\) puis sur ...

Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \R\). Mettre le déterminant : ...

Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...

Soit \(n\) un entier positif.

Soit les polynômes de \(\mathbb{R}[X]\) : ...

Déterminer les polynômes \(P\in \mathbb{R}[X]\) et \(Q\in \mathbb{R}[X]\), premie ...

Montrer que les polynômes complexes \(P=X^{1998}+X+1\) et \(Q=X^5+X+1\) sont prem ...

Montrer que le polynôme \(P(X)= X^5-X^2+1\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est irationnelle.

Soit \(P=(X^2-X+1)^2+1\).

Décomposer dans \(\Rr[X]\), sans déterminer ses racines, le polynôme ...

Décomposer \(X^{12}-1\) en produit de facteurs irréductibles dans \(\Rr[X]\).

Soit \(P\) un polynôme de \({\R}[X]\) tel que ...

Soit \(a\in\mathbb{C}\), \(P \in \mathbb{C}[X]\) et ...

Montrer que le polynôme \(X^3+2\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\). Factor ...

Dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\), décomposer les polynômes suivan ...

Quelle est la décomposition de \(X^6+1\) en facteurs irréductibles dans ...

Soit le polynôme \(P=X^8+2X^6+3X^4+2X^2+1\).

Soit \(E\) le polynôme du troisième degré : \(aX^3+bX^2+cX+d\) avec ...

Soit \(n \in \Nn\) fixé. Montrer qu’il y a un nombre fini de polynômes unitaires de degré ...

Soit \(n \in \Nn^*\) et \(P (X) = (X + 1)^n- (X-1)^n\).

Factoriser dans \(\Rr[X]\) :