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Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle équilatéral et \(G=Isom(\mathcal T)\) son gro ...

Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle isocèle non équilatéral. Déterminer son groupe d’isométries ainsi qu’un isomor ...

Soit \(\mathcal C=ABCD\) un carré plein du plan (c’est-à-dire l’enveloppe convexe de ses sommets) et ...

Soit \(\mathcal C=ABCD\) un rectangle plein, non carré. Déterminer son groupe d’isométries, et préciser un isomorp ...

Soit \((G,\star)\) un groupe. Donner la définition du sous-groupe engendré par une partie ...

Dire si les couples suivants sont des groupes : \((\Z,+)\) ; \((\Z,\times)\) ; ...

Soit \((E,\star)\) un ensemble muni d’une loi interne associative avec un élément neutre, noté ...

Soit \(H\) un sous-groupe de \((\Z,+)\) contenant ...

Soit \(a\) et \(b\) deux entiers non tous nuls et ...

Déterminer \(45\Z \cap 60\Z\).

L’application \(F~:(\Z,+)\to (\Z,+)\), \(n\mapsto 1\) est-elle un morphisme de gr ...

Soit \(F\) un morphisme de groupes de \((\Z,+)\) dans lui-même. Montrer qu’il suf ...

Soit \(E=\{a,b\}\) un ensemble à deux éléments. On cherche à déterminer toutes les structures de groupes sur cet e ...

Soit \(E = \Q^2 \setminus \{(0,0)\}\), et \(\star\) la loi de composition interne ...

Soit \(E\) un ensemble, on note \(\mathcal{P}(E)\) l’ensemble des parties de ...

Soit \(G\) un groupe tel que \(\forall x\in G, x\star x=e_G\).

Montrer que ...

Ecrire les tables d’opération dans l’anneau \(\Z/6\Z\).

Montrer que \(\Z \times \Z\) peut être muni d’une structure naturelle d’anneau.

Déterminer l’ordre de \(\overline{2}\) dans \((\Z/10\Z,+)\).

Déterminer les puissances de \(2\) modulo \(9\). Que dire du groupe ...

Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. On a vu co ...

Voici la table d’un groupe fini. Déterminer l’ordre de \(a\).

...

Le but de cet exercice est de déterminer tous les morphismes d’anneaux de \(\Z/10\Z\) dans un ...

L’équation \(x^3 + x + 1 = 0\) a-t-elle des solutions dans \(\Z/2\Z\).

Soit \(p\) un nombre premier impair. Quels éléments de \((\Z/p\Z)^\times\) sont l ...

Dans l’anneau \(\Z /3 \Z\), calculer \((a+b)^3\) où ...

\(20606\) appartient-il à \(14443 + 3079 \Z\) ?

Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...

Déterminer les racines de \(X^2 - 1\) dans \(\Z/8\Z\). Comparer leur nombre au de ...

Montrer que \(X^2 + 4\) est irréductible dans \(\Z[X]\) mais réductible dans ...

Donner la définition d’un groupe.

L’entier \(51606\) appartient-il à \(2569 + 247\Z\) ?

On note \(\mathbb{F}_{11}\) le corps fini \(\Z/11\Z\). Considérons le groupe ...

Déterminer la liste des inversibles de \(\Z/15\Z\). Déterminer l’ordre de chaque élément dans ...

Le polynôme \(X^2+1\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_3[X]\) ?

Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...

Considérons l’anneau \(\Z[i\sqrt{3}]\), le sous-anneaux de \(\C\) engendré par ...

La compléter.

Considérons le groupe \(\displaystyle\left(\mathbb{F}_{53} \right)^\times\). Quels sont les ordres possibles d’un ...

Alice et Bernard décident d’utiliser l’algorithme d’El Gamal. Il utilise le corps \(\mathbb{F}_{19}\) avec l’éléme ...

Soit \((E,\star)\) un ensemble muni d’une loi de composition interne associative avec un élément neutre, noté ...

Considérons le groupe \((\Zz , +)\). Le sous-ensemble \(4\Zz\) est par définition ...

Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal{P}(E)\) l’ensemble de ses parties.

Soit \(E=\{a,b\}\) un ensemble à deux éléments. On cherche à déterminer toutes les structures de groupe sur cet en ...

Soit \(G\) un ensemble muni d’une relation d’ordre \(\leq\) et d’une structure de ...

Montrer que tout groupe cyclique d’ordre \(n\) est isomorphe à \(\Z/n\Z\).

Montrer que les deux permutations \(\tau=(1,2)\) et \(c=(1,2,3)\) engendrent le g ...

Donner la liste des permutations du groupe symétrique \(\mathcal{S}_4\).

Montrer que le groupe \(GL_2(\mathbb{F}_2)\) des matrices inversibles de taille ...

Enoncer le théorème de Lagrange.