Texte officiel du programme
Cette section vise les objectifs suivants :
- généraliser au cas des espaces vectoriels sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ certaines notions (convergence de suites, limite et continuité de fonctions) étudiées en première année dans le cadre de l’analyse réelle, indispensables pour aborder l’étude des suites de matrices, des fonctions à valeurs vectorielles et du calcul différentiel ;
- fournir un cadre topologique à la convergence des suites et séries de fonctions.
Les notions seront illustrées par des exemples concrets et variés.
Il convient de souligner l’aspect géométrique des concepts topologiques à l’aide de nombreuses figures.
- a) Normes 104
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 66
- c) Comparaison des normes 26
- d) Topologie d’un espace vectoriel normé 97
- e) Limite et continuité en un point 118
- f) Continuité sur une partie 23
- g) Espaces vectoriels normés de dimension finie 21
exo7 6089
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\C\) de boule unité fermée ...
exo7 6116
Montrer que \(\Zz\) et \(\Qq\) (munis de la topologie induite par celle de ...
exo7 6119
Montrer que le carré unité fermé et le disque fermé dans \({\Rr}^2\) sont homéomorphes.
exo7 6120
Montrer que la boule unité ouverte de \({\Rr}^n\) est homéomorphe à \({\Rr}^n\) t ...
exo7 6122
Soit \(F\) l’application de \({\Rr}^+\) dans ...
exo7 6132
Soit \(F\) un fermé de \(\Rr\), et \(f\) une app ...
exo7 6163
Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) dans ...
exo7 6180
On considère dans \(M_n(\Rr)\) le sous-ensemble des matrices de déterminant égal à ...
exo7 6181
Montrer que dans un evn, la boule unité fermée est compacte si et seulement si la sphère unité est compacte.
exo7 6184
Soit \(f\) une surjection continue de \(\Rr^2\) sur ...
exo7 6190
On considère une suite \((x_n)\) de \([0,1]\) telle que ...
exo7 6191
On note \({\mathbb{S}^1}\) le cercle unité dans \({\Rr}^2\), et ...
exo7 6194
Soit \(E\) un espace normé, \(X\) et \(Y\) deux ...
exo7 6195
Soit \(E\) un espace normé, \(X\) et \(Y\) deux ...
exo7 6196
Soit \(K\) un convexe compact symétrique de \(\Rr^n\) contenant ...
exo7 6197
Trouver l’ensemble des valeurs d’adhérence quand \(x\to 0\) de ...
exo7 6200
Soit \(E=C_b(\Rr)\) muni de la norme uniforme; pour \(f\in E\), on note ...
exo7 6204
On désigne par \(E\) l’espace \(C([-1,1])\) muni de la norme uniforme et par ...
exo7 6207
Soit \(K\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 6208
Montrer que pour tout \(x\in\Rr^n\), ...
exo7 6237
Soit \(a,b\in E\) evn, ...
exo7 6239
On désigne par \(E\) l’espace \(C([0,1])\) muni de la norme uniforme et l’opérate ...
exo7 6263
Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) et ...
exo7 6324
Soit \(f: \Rr ^2 \to \Rr\) donnée par \(f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si ...
exo7 6332
Soit \(f\) une application \(K\)-lipschitzienne sur un ouvert ...
exo7 6333
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 6339
Montrer que \(\Big(I+{A\over n}\Big)^n\) converge vers \(e^A\) quand ...
exo7 6402
Montrer que \(3\) points \(x, y\) et \(z\) sont ...
exo7 651
Donner un exemple de fonction continue sur \([0,1]\) non lipschitzienne, puis de fonction continue en un seul poin ...
exo7 665
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), montrer : ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 6775
(D’abord un cas particulier) Dans \(\Rr^3\) on considère les objets suivants : le demi-espace ...
exo7 6790
Soit \(I\subset \Rr\) un intervalle fermé borné et soit \(f: I \to I\) une applic ...
exo7 6797
Soit \(K\) un compact contenu dans \(U\) un ouvert de ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 6805
Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr^2\) définie par \(f(x,y) = (x^2-y, x^2 + y^2)\). On défini ...
exo7 6807
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\Cc\). On désigne par ...
exo7 681
La fonction \(\dfrac 1x\) est-elle lipschitzienne sur \(]0, + \infty[\) ? sur ...
exo7 6823
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (1,1+y^2)\).
exo7 685
Soit \(f\) définie par \(f(x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)},\) où ...
exo7 6883
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) un fermé non vide de ...
exo7 696
On dit qu’une suite \((f_{n})_{n\in \Nn}\) de fonctions définies sur \(I=[a,b]\) ...
exo7 697
\(f:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) est à variation bornée si et seulement si : ...
exo7 7542
Soit \(d\) un entier naturel. Montrer qu’une suite de polynômes ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Limite d'une Fonction
On considère la fonction définie par \(f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}\). De plus on considère la suite de termes géné ...
Limite d'une fonction définie sur $\R^2$
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\), ...
Limite et continuité
Soit la fonction \(g \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Limite et continuité d'une fonction définie sur $\R^2$
Étudier l’existence et le cas échéant, calculer \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\]
Ouverts et fermés dans $\R$
Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés dans \(\R\).
...