Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-f), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$, avec un intervalle $]-\infty,A[$ si $a=-\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 6122
Soit \(F\) l’application de \({\Rr}^+\) dans ...
exo7 613
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et ...
exo7 6132
Soit \(F\) un fermé de \(\Rr\), et \(f\) une app ...
exo7 6133
Soit \(n\to r_n\) une bijection de \(\Nn\) sur ...
exo7 614
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes à coefficients réels de degré respectif ...
exo7 6147
Existe-t-il une application continue \(f:{\R}\to{\R}\) telle que \(f(x)\in\Qq\) s ...
exo7 615
Soit \(f : \Rr^+ \rightarrow \Rr^+\) croissante telle que ...
exo7 6153
Soit \(I=[a,b]\) et \(f : I\to\R\) dérivable ; soit ...
exo7 616
Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes ...
exo7 6163
Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) dans ...
exo7 617
Montrer que pour tout \(0<\epsilon <1\) et pour \(x \in \mathbb{R},\) on a: ...
exo7 618
Montrer que pour tout \(a \in \mathbb{R}^{+*},\) et pour tout couple de nombres réels ...
exo7 6184
Soit \(f\) une surjection continue de \(\Rr^2\) sur ...
exo7 619
Pour tout \(n\) entier naturel et tout couple de réels \((x,y)\), établir la form ...
exo7 6190
On considère une suite \((x_n)\) de \([0,1]\) telle que ...
exo7 6197
Trouver l’ensemble des valeurs d’adhérence quand \(x\to 0\) de ...
exo7 620
Rappeler que pour tout nombre réels \(\epsilon > 0\) il existe un entier \(n\) ...
exo7 621
Déterminer les limites suivantes: ...
exo7 622
On rappelle les limites : ...
exo7 623
Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.
exo7 6239
On désigne par \(E\) l’espace \(C([0,1])\) muni de la norme uniforme et l’opérate ...
exo7 624
Soient \(a,b\) des réels positifs. \(E(x)\) désigne la partie entière de ...
exo7 6240
On considère \(T:C([0,1])\to C([0,1])\) qui à \(f\) associe ...
exo7 6243
Soit \((f_n)\) une suite d’applications croissantes de \([0,1]\) dans ...
exo7 6244
Parmi les métriques suivantes définies sur \(\Rr\), lesquelles sont uniformément équivalentes à la métrique usuell ...
exo7 6247
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions réelles convergeant uniformément vers \(f\) ...
exo7 625
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 626
En utilisant la définition d’une limite, montrer que : ...
exo7 627
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 629
Déterminer les limites suivantes : \[\frac{x}{2 + \sin (\frac 1x)} \qquad \text{ en } 0\]
...
exo7 630
Étudier les asymptotes de \(f (x) = e^{\frac 1x}\sqrt{x (x + 2)}\).
exo7 631
Montrer que \[\frac{\ln (x)}{x^\alpha} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}} \text{ où } \alpha > 0.\] En déduire ...
exo7 6315
Soit \(f,g\) deux fonctions réelles continues sur un intervalle \(I\) de ...
exo7 632
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 6321
On considère l’équation \((1)\quad x'=3x^{2/3}\) avec condition initiale ...
exo7 633
Calculer : ...
exo7 6331
Soit \(u,v\) deux applications de \([0,\beta]\) dans ...
exo7 634
Calculer : \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{(\sin x)^{2}}-\frac{1}{(\sinh x)^{2}}\right).\]
exo7 635
Calculer : ...
exo7 636
Trouver : \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{x^{x}}\ln x}{x^{x}-1}\]
exo7 637
Trouver pour \((a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}\) : ...
exo7 638
Trouver pour \((a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}\) : ...
exo7 639
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 640
Soit \(f\) une fonction de \(\lbrack a,b \rbrack\) dans ...
exo7 641
Soit \(f\) une fonction continue sur \(]a,b[\) telle que ...
exo7 642
Soit \(f:[a,b]\longrightarrow\R\) une fonction continue telle que \(f(a)=f(b)\). ...
exo7 643
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) continue telle que ...
exo7 644
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr^ +\) continue telle que \(f (0) = 1\), ...
exo7 645
Soient \(I\) un intervalle de \(\Rr\) et ...
exo7 646
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) continue admettant une limite finie en ...