Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des endomorphismes et des matrices carrées, et indiquer quelques méthodes simples de calcul.
exo7 2213
Montrer que si \(\rho (A) <1\) alors
exo7 2214
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) inversible et ...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2216
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\) de rang \(r\leq p=\min (m,n)\). On considère la déco ...
exo7 2221
Soit \(A\) une matrice inversible donnée.
exo7 2224
Montrer que la factorisation LU préserve la structure des matrices bande au sens suivant : ...
exo7 2225
Soit \(A\) une matrice symétrique inversible admettant une factorisation LU. Montrer que l’on peut écrire ...
exo7 2226
Soit \(A=LU\) la décomposition LU d’une matrice \(A\in\Rr^{n\times n}\) avec ...
exo7 2227
On suppose \(A\in\Rr^{n\times n}\) inversible. Montrer que si \(PA\Pi =LU\) est o ...
exo7 2228
Soit \(A\in\Rr^{n\times n}\) telle que \(A^T\) soit à diagonale strictement domin ...
exo7 2231
Soient \(p,q :\) \(1\leq p < q\leq n\), ...
exo7 2232
Soit \(Z=\left(\begin{array}{cc} c&s\\ -s&c\end{array}\right)\) avec ...
exo7 2233
Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs unitaires. Donner un algorithme qui utilise l ...
exo7 2234
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\). On veut construire une matrice ...
exo7 2235
Soit \(a\in\Rr\) et ...
exo7 2236
Soit \(A\) une matrice hermitienne inversible décomposée en \(A=M-N\) où ...
exo7 2237
Soit \(A=I-E-E^*\) une matrice carrée d’ordre \(N\) où ...
exo7 2239
On considère le système \(Ax=b\) avec ...
exo7 2433
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice par rapport à la base cano ...
exo7 2434
Soit \(A\) une matrice carrée qui commute avec toutes les matrices carrées. Montrer que c’est une matrice scalaire ...
exo7 2435
Soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 2437
Soit \(A\) une matrice carrée.
exo7 2438
Soit \(G\) l’ensemble des matrices d’ordre 2 inversibles.
exo7 2440
Soit \(G\) le groupe multiplicatif des matrices complexes d’ordre \(n\). Parmi le ...
exo7 2441
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\), et ...
exo7 2442
Pour toute matrice carrée \(A\) de dimension \(n\), on appelle trace de ...
exo7 2443
On rappelle qu’une matrice carrée \(A\) d’ordre \(n\) est dite symétriq ...
exo7 2444
Soient \(A, B\) deux matrices semblables (i.e. il existe \(P\) inversible telle q ...
exo7 2445
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant pour tout ...
exo7 2446
Une matrice carrée réelle \(A\) est dite stochastique si ...
exo7 2447
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables à valeurs dans ...
exo7 2448
Calculer les déterminants suivants ...
exo7 2449
Calculer le rang de la matrice ...
exo7 2450
Dans \(\R^4\), on note \(v_1 = {\null}^t(1, 2, 0, -1)\), ...
exo7 2452
Calculer par récurrence le déterminant ...
exo7 2453
Montrer que ...
exo7 2454
Soit \(M\) une matrice carrée d’ordre \(n\), et ...
exo7 2455
Calculer le déterminant d’ordre \(n\) ...
exo7 2456
Calculer le déterminant ...
exo7 2458
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(n\) réelles, et ...
exo7 2459
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2.
exo7 2462
Systèmes linéaires.
exo7 2463
Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles le système suivant admet des solutions différentes de ...
exo7 2464
Soit \(a, b\) deux réels différents. Montrer que le système linéaire ...
exo7 2465
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) tridiagonale, c’est-à-dire telle que ...
exo7 2466
Soit la matrice ...
exo7 2468
Soit \(\mathbb K\) le corps des réels ou des complexes, et \(u\) l’endomorphisme ...
exo7 2470
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n(\C)\) ; on suppose qu’il existe un entie ...
exo7 2474
Soit \(A, B\) deux matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients complexes qui co ...