Texte officiel du programme
L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et de les exploiter pour la résolution de problèmes portant sur les équations algébriques et les fonctions numériques.
On présente la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles, uniquement dans des situations simples. L’objectif est de présenter aux étudiants un outil qui leur permette de mener à bien des calculs d’intégration, de dérivation, de somme, etc.
Le programme se limite aux polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ où $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Ensemble des polynômes à une indéterminée 94
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 81
- f) Décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles 70
exo7 388
Trouver le pgcd des trois polynômes : ...
exo7 3887
On pose ...
exo7 389
Soit les polynômes de \(\mathbb{R}[X]\) : ...
exo7 392
Soit \(n\) un entier strictement positif.
exo7 3929
Pour \(n \in \N\), on pose \(f_n(x) = \cos(n\arccos x )\) et ...
exo7 393
Déterminer les polynômes \(P\in \mathbb{R}[X]\) et \(Q\in \mathbb{R}[X]\), premie ...
exo7 394
Montrer que les polynômes \(X-1\) et \(X-2\) sont premiers entre eux et en déduir ...
exo7 395
Montrer que les polynômes complexes \(P=X^{1998}+X+1\) et \(Q=X^5+X+1\) sont prem ...
exo7 3952
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\), ...
exo7 3953
On pose \(f(t) = (t^2-1)^n\).
exo7 3954
Soit \(n \in \N,\ n \ge 2\), et \(a,b \in \R\). Montrer que l’équation ...
exo7 396
Montrer que le polynôme \(P(X)= X^5-X^2+1\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est irationnelle.
exo7 3968
Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de \(x \mapsto x^n(1-x)^n\). En déduire la ...
exo7 3969
Calculer \(\frac {d^n}{d t^n}\left(t^{n-1}\ln t\right)\), et ...
exo7 397
Soit \(P(X)= a_nX^n+\cdots + a_0\) un polynôme à coefficients entiers premiers entre eux (c’est à dire tels que le ...
exo7 398
Soit \(P\in \Qq [X]\) un polynôme de degré \(n\).
exo7 399
Montrer que le polynôme \(nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n\) admet une racine multiple. Application : déterminer les ...
exo7 400
Soit \(P=(X^2-X+1)^2+1\).
exo7 401
Décomposer dans \(\Rr[X]\), sans déterminer ses racines, le polynôme ...
exo7 4017
Soient \(P,Q\) deux polynômes à coefficients réels, non constants, de coefficients dominants positifs.
On n ...
exo7 402
Pour tout \(a\in\Rr\) et tout \(n\in\Nn^*\), démontrer que ...
exo7 403
Décomposer \(X^{12}-1\) en produit de facteurs irréductibles dans \(\Rr[X]\).
exo7 4032
Soit \(P \in \R[X]\) de valuation 1. Démontrer que pour tout entier \(n \in \N\), ...
exo7 404
Prouver que \(B\) divise \(A\), où :
...
exo7 4048
Soient \(P(X) = X + aX^3 + bX^5 + cX^7\) et ...
exo7 406
Soit \(P\) un polynôme de \({\R}[X]\) tel que ...
exo7 407
Soit \(\theta \in\mathbb{R}\) ; on suppose \(\sin n\theta \neq 0\). Déterminer le ...
exo7 408
Soit \(a\in\mathbb{C}\), \(P \in \mathbb{C}[X]\) et ...
exo7 409
Pour \(n\in \mathbb{N}^{\ast}\), quel est l’ordre de multiplicité de 2 comme racine du polynôme ...
exo7 410
Pour quelles valeurs de \(a\) le polynôme \((X+1)^7-X^7-a\) admet-il une racine m ...
exo7 411
Montrer que le polynôme \(X^3+2\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\). Factor ...
exo7 412
Dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\), décomposer les polynômes suivan ...
exo7 413
Quelle est la décomposition de \(X^6+1\) en facteurs irréductibles dans ...
exo7 414
Soit \(P\) le polynôme \(X^4+2X^2+1\). Déterminer les multiplicités des racines ...
exo7 4142
Soient \(P \in \C[X]\) et \(f : {\R^2} \to \C, {(x,y)} \mapsto {P(x+iy).}\) Montr ...
exo7 415
Soit le polynôme \(P=X^8+2X^6+3X^4+2X^2+1\).
exo7 416
Soit \(E\) le polynôme du troisième degré : \(aX^3+bX^2+cX+d\) avec ...
exo7 417
Soient \(x_1, x_2, x_3\) les racines de \(X^3-2X^2 + X + 3\). Calculer ...
exo7 4175
Soit \(U\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré \(n\) et à raci ...
exo7 418
Soit \(n \in \Nn\) fixé. Montrer qu’il y a un nombre fini de polynômes unitaires de degré ...
exo7 419
Soit \(n \geq 2\) et \(P_n (X) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac 1{k ! }X^k\). ...
exo7 420
Résoudre les équations :
exo7 421
Soit \(P \in \Rr[X]\) scindé sur \(\Rr\) à racines simples.
exo7 422
Soit \(n \in \Nn^*\) et \(P (X) = (X + 1)^n- (X-1)^n\).
exo7 423
Factoriser dans \(\Rr[X]\) :
exo7 424
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\) il existe un polynôme \(P_n\) et ...
exo7 425
Déterminer, s’il en existe, tous les idéaux \(J\) de \(\mathbb{R}[X]\) tels que : ...
exo7 4250
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+p}\) telle que ...
exo7 426
Trouver un polynôme \(P\) de degré \(\leq2\) tel que ...
exo7 4263
...