Texte officiel du programme
L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et de les exploiter pour la résolution de problèmes portant sur les équations algébriques et les fonctions numériques.
On présente la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles, uniquement dans des situations simples. L’objectif est de présenter aux étudiants un outil qui leur permette de mener à bien des calculs d’intégration, de dérivation, de somme, etc.
Le programme se limite aux polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ où $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Ensemble des polynômes à une indéterminée 94
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 81
- f) Décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles 70
exo7 5324
Soit \(P\in\Cc[X]\) de degré supérieur ou égal à \(1\). Montrer que les racines d ...
exo7 5325
Trouver tous les polynômes divisibles par leur dérivée.
exo7 5326
Trouver un polynôme de degré \(5\) tel que \(P(X)+10\) soit divisible par ...
exo7 5327
Trouver les polynômes \(P\) de \(\Rr[X]\) vérifiant ...
exo7 5328
Déterminer \(a\in\Cc\) tel que \(P=X^5-209X+a\) admette deux zéros dont le produi ...
exo7 5329
Soit \((a_k)_{1\leq k\leq 5}\) la famille des racines de \(P=X^5+2X^4-X-1\). Calc ...
exo7 5330
Résoudre dans \(\Cc^3\) (resp. \(\Cc^4\)) le système :
...
exo7 5331
Trouver tous les polynômes \(P\) vérifiant \(P(2X)=P'(X)P''(X)\).
exo7 5332
Factoriser dans \(\Cc[X]\) le polynôme \(12X^4+X^3+15X^2-20X+4\).
exo7 5333
Soit \(n\in\Nn^*\). Montrer que \((X-1)^{2n}-X^{2n}+2X-1\) est divisible par ...
exo7 5335
Décomposer en éléments simples dans \(C(X)\) les fractions rationnelles suivantes
...
exo7 5336
Décomposer en éléments simples dans \(C(X)\) les fractions rationnelles suivantes
...
exo7 5337
Soit \(U_n\) l’ensemble des racines \(n\)-ièmes de l’unité dans ...
exo7 5339
Montrer que \((\frac{1}{X-a})_{a\in\Cc}\) est libre dans \(K(X)\).
exo7 5340
Calculer la dérivée \(n\)-ième de \(\frac{1}{X^2+1}\).
exo7 5341
On pose \(P=a(X-x_1) ... (X-x_n)\) où les \(x_i\) sont des complexes non nécessai ...
exo7 5342
Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans \(\Rr[X]\) le polynôme ...
exo7 5343
Soit \(P=\) où \(n\) est un entier naturel non ...
exo7 5344
Résoudre dans \(\Cc\) les équations suivantes :
exo7 5345
Former une équation du sixième degré dont les racines sont les \(\sin\frac{k\pi}{7}\) où ...
exo7 5346
Soit \(P\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(4\).
Montrer qu ...
exo7 5348
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Pour ...
exo7 5349
Déterminer \(\lambda\) et \(\mu\) complexes tels que les zéros de ...
exo7 5350
Soient \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) les zéros de ...
exo7 5351
Soient \(x_1\),..., \(x_8\) les zéros de ...
exo7 5352
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(z^4-21z+8=0\) sachant qu’il existe deux des so ...
exo7 5362
Montrer que ...
exo7 5363
Pour \(a\), \(b\) et \(c\) deux à deux distincts ...
exo7 5365
Soit \(A=\left(\frac{1}{a_i+b_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\) où \(a_1\),..., ...
exo7 5381
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5412
Pour \(n\) entier naturel non nul donné, on pose \(L_n=((X^2-1)^n)^{(n)}\).
exo7 5413
Déterminer dans chacun des cas suivants la dérivée \(n\)-ème de la fonction proposée :
...
exo7 5420
Soit \(P\) un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à \(2\).
exo7 5430
Soit \(f(x)=\frac{x}{1-x^2}\). Calculer \(f^{(n)}(0)\) en moins de ...
exo7 545
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \frac{2u_n^3+7}{3(u_n^2+1)}\) et ...
exo7 5466
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5468
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5471
Condition nécessaire et suffisante sur \(a\), \(b\), ...
exo7 5479
Résoudre sur \(\Rr\) les équations différentielles :
...
exo7 5485
Sur \(\Rr[X]\), on pose \(P|Q=\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt\). Existe-t-il ...
exo7 5573
Soient \(a_0\),..., \(a_n\) \(n+1\) nombres comp ...
exo7 5627
Soient \(A\) et \(B\) deux éléments de ...
exo7 5630
Sur \(E =\Rr_3[X]\), on pose pour tout \(P\in E\), ...
exo7 5637
Soient \(x_0\),..., \(x_{n-1}\) \(n\) nombres co ...
exo7 5638
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5643
Soient \(x_1\),..., \(x_n\) \(n\) entiers nature ...
exo7 5678
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées complexes de format ...
exo7 5687
Soit \(A\) une matrice carrée réelle de format \(n\geqslant 2\) vérifiant ...
exo7 5728
Soit \(f\) une application continue sur \([0,1]\) à valeurs dans ...
exo7 5749
Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...