Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
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Le point de vue adopté dans cette section est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de sections ultérieures.
Les objectifs de formation sont les suivants :
- l’introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation ;
- la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;
- le calcul de dérivées et de primitives ;
- la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;
- l’application des deux points précédents aux équations différentielles.
Le cours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.
- A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes 387
- B - Primitives et équations différentielles linéaires 284
exo7 735
Trouver les fonctions \(f:{\Rr\rightarrow \Rr}\) dérivables en \(0\) telles que : ...
exo7 739
Soit \(n \geq 2\) un entier fixé et ...
exo7 741
Écrire sous la forme \(\frac{m}{n}\pi\) avec \(m\in \Z\), ...
exo7 742
Résoudre les équations suivantes :
exo7 743
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation: ...
exo7 744
Soient les fonctions \(f:x\mapsto\arcsin(\sin x)\) et ...
exo7 745
Une statue de hauteur \(s\) est placée sur un piédestal de hauteur \(p\).
exo7 746
Démontrer les inégalités suivantes : \[\Arcsin a < \frac{a}{\sqrt{1-a^2}} \quad \text{ si } 0<a<1 ;\] ...
exo7 747
Écrire sous forme d’expression algébrique
exo7 748
Tracer les courbes représentatives des fonctions ...
exo7 749
Résoudre les équations suivantes:
exo7 750
Calculer \[\Arctan \frac{1}{2}+\Arctan \frac{1}{5}+\Arctan \frac{1}{8}.\]
exo7 751
Simplifier les expressions suivantes : ...
exo7 752
Vérifier ...
exo7 753
Montrer que \(\dfrac{\pi}4 = 4\arctan (\dfrac 15) - \arctan (\dfrac 1{239})\) (on montrera que ...
exo7 7548
On définit \(\cosh z\) comme la somme de la série \(\sum \frac{z^{2n}}{(2n)!}\) e ...
exo7 755
Étudier la fonction : \[\phi :x\rightarrow \arcsin \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}+\arccos \frac{2x}{1+x^{2}}.\]
exo7 7568
On définit les nombres de Bernouilli comme les nombres complexes \(B_n\) tels que sur le domaine de convergence ...
exo7 757
Soit \(f:\Rr^{2}\rightarrow \Rr^{2}\) définie par: ...
exo7 758
Montrer qu’il n’existe pas de fonction \(f:[1;+\infty [\rightarrow \Rr\) vérifiant: ...
exo7 759
Calculer : ...
exo7 7599
Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.
exo7 7607
On paramètre le cercle \(C_r\) privé du point \({-r}\) de centre ...
exo7 761
Calculer pour \((n,a,b)\in \Nn^{*}\times \Rr^{2}\) : ...
exo7 762
Soit \((a,b)\in\R^2\), résoudre le système ...
exo7 764
Soit \(x\in\R\). On pose \(t=\Arctan(\sh x)\).
exo7 765
Montrer que \(\ch nx\) et \(\sh nx\) peuvent s’exprimer comme polynômes en ...
exo7 766
Exprimer \(\ch^n x\) et \(\sh^n x\) au moyen de ...
exo7 767
Calculer les sommes ...
exo7 771
Résoudre \[x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x}^{x} ;\] ...
exo7 772
Préciser les comportements
de \(\displaystyle{x\mapsto \frac{x^2-e^x}{x-e}}\) quand ...
exo7 773
Démontrer les inégalités : ...
exo7 774
Déterminer \(\lim\limits_{ + \infty} (x-\ln (\text{ch}x))\).
exo7 775
Montrer que \(\forall x \in \Rr \, \, \text{ch} (2x) = 1 + 2\text{sh}^2 x\). En déduire un équivalent de ...
exo7 776
Résoudre l’équation \(x^y = y^x\) où \(x\) et ...
exo7 777
Résoudre l’équation \(\tan (3 \arcsin x) = 1\). On exprimera les trois solutions au moyen de radicaux.
exo7 780
Soient \(0<a \leq b\). Montrer que ...
exo7 788
Soit \(f\in C([0,1],{\Rr})\) telle que : ...
exo7 789
Soit \(f\) une fonction \(C^{1}\) sur \([a,b]\) ...
exo7 799
Soit \(\varphi\) une fonction bornée sur \([a,b]\) ; comparer les assertions suiv ...
exo7 800
Soit \(f\) une fonction continue et strictement croissante de \([a,b]\) sur ...
exo7 804
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \([a,b]\), vérifiant ...
exo7 809
On appelle épicycloïde la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon \(r\), lié à ce cercle, quand ...
exo7 811
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 812
Considérons l’intégrale \[I=\int_0^{\ln 2}\sqrt{e^x-1}\, dx\] Effectuer le changement de variables ...
exo7 813
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) une fonction strictement croissante et continûment dérivable. On considère les deux ...
exo7 814
Calculer les primitives suivantes : \[\int \frac{1}{\sqrt{2+x}+\sqrt[3]{2+x}}dx, \quad (t=\sqrt[6]{2+x}) \ ;\] ...
exo7 815
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 817
Soit \(f \in C^{2} ([a, b], \Rr)\).
exo7 820
Calculer par récurrence : \[I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{du}{\cos ^{n}u}.\]