Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
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Le point de vue adopté dans cette section est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de sections ultérieures.
Les objectifs de formation sont les suivants :
- l’introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation ;
- la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;
- le calcul de dérivées et de primitives ;
- la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;
- l’application des deux points précédents aux équations différentielles.
Le cours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.
- A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes 387
- B - Primitives et équations différentielles linéaires 284
exo7 1847
Résoudre l’équation aux dérivées partielles : \[x\frac{\partial f}{\partial y}-y\frac{\partial f}{\partial x}=f\] ...
exo7 185
Soient \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) et \(g : \Rr \rightarrow \Rr\) telles que ...
exo7 1856
Déterminer les fonctions \(f\in {\cal C}^1(\R^2,\R)\) vérifiant ...
exo7 188
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = x^3-x\).
...
exo7 2059
Déterminer la longueur de la courbe \(y = \sqrt{x} (1-\dfrac x3)\) pour ...
exo7 2088
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs: ...
exo7 2089
Calculer les primitives suivantes: ...
exo7 2090
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs: ...
exo7 2091
Soit \(f\,:\;\R\to\R\) une fonction continue sur \(\R\) et ...
exo7 2092
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables ...
exo7 2093
Soit \(F(x)=\displaystyle \int_x^{x^2}\frac{1}{\ln t}d t\)
exo7 2094
Calculer les intégales suivantes: ...
exo7 2095
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2098
Calculer \(\int_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}d x\) (on posera \(\theta =\arcsin \frac xR\) ...
exo7 2099
Calculer l’aire de la région délimitée par les courbes d’équation \(\displaystyle y=\frac{x^2}2\) et ...
exo7 212
Montrer que la relation \(\mathcal{R}\) définie sur \(\Rr\) par : ...
exo7 220
En utilisant la fonction \(x\mapsto(1+x)^n\), calculer : ...
exo7 2319
Calculer les primitives des fonctions suivantes : ...
exo7 2320
Calculer les primitives des fonctions suivantes : ...
exo7 2321
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2322
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2324
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions réelles périodiques de période ...
exo7 2325
Calculer les primitives des fonctions suivantes : ...
exo7 2326
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2327
Calculer les intégrales ...
exo7 2328
Soient \(a \neq 0\) un réel, et \(y>x>0\).
exo7 2329
Soit \(x>0\) un réel. Calculer les valeurs de ...
exo7 2333
Soit \(n \ge 0\) un entier. Montrer que l’intégrale ...
exo7 2335
Trouver les primitives des fonctions suivantes : ...
exo7 2426
On considère l’espace vectoriel \(\R^n\) (\(n \ge 2\)), et ...
exo7 2519
Montrer que l’identité des accroissements finis n’est pas vraie pour les fonctions vectorielles en considérant ...
exo7 2557
Pour chacune des équations suivantes où \(y=y(x)\) est rélle de variable réelle, décrire les solutions en précisan ...
exo7 2559
On considère l’équation différentielle \(x'=|x|+|t|\).
exo7 2560
Soit \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) donnée par ...
exo7 2561
Soit l’équation différentielle \[x'''-xx''=0\] où \(x\) est ...
exo7 2562
On considère l’équation \(xx''=(x')^2+1\) sur \(\mathbb{R}\).
exo7 2652
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée de \[\exp[-0.02\sqrt{4.03}].\] ...
exo7 2657
Calculer \[\ell = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x.\] Donner un équivalent de ...
exo7 2693
Un train qui ralentit avec une décélération constante met 20s pour parcourir le premier km et 30s pour parco ...
exo7 2749
Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{Z}\), avec successivement ...
exo7 2778
En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...
exo7 3038
Soit \(f : {\R^2} \to {\R}\) une fonction bornée. On définit les fonctions : ...
exo7 3048
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. On note \(A = \{ x \in {[0,1]}\) tq ...
exo7 3185
Soit \(P \in {\R[X]}\). Existe-t-il \(Q \in {\R[X]}\) tel que ...
exo7 3845
Soit \(f : \R \to \R\) et \(T > 0\). On suppose que ...
exo7 3867
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) telle que : ...
exo7 3869
Trouver toutes les fonctions \(f : {\R} \to {\R}\) continues telles que : ...
exo7 3874
Soit \(f : \R \to \R\) croissante telle que : ...
exo7 3877
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) une fonction bornée.
On note ...