Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Normes équivalentes. | Invariance du caractère borné, de la convergence d’une suite. Utilisation de suites pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes. La comparaison effective de deux normes n’est pas un objectif du programme. On se limite en pratique à des exemples élémentaires. |
exo7 1740
Soit \(x = (x_1, \cdots x_n) \in \R^n\). On pose ...
exo7 1865
Pour tout \((x,y) \in \R^2\), on pose ...
exo7 1869
On considère les trois normes définies sur \(\mathbb{R}^2\) par: ...
exo7 1871
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...
exo7 1881
Montrer que \(\forall p\geq 1\), l’application ...
exo7 1889
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(C^1\) sur ...
exo7 1898
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 2212
Soit \(A\) une matrice d’ordre \((m,n)\). Démontrer les inégalités suivantes pour ...
exo7 2221
Soit \(A\) une matrice inversible donnée.
exo7 2426
On considère l’espace vectoriel \(\R^n\) (\(n \ge 2\)), et ...
exo7 3834
Montrer que les applications : ...
exo7 4758
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k\), on pose : ...
exo7 4760
Soit \(a\in\R\). On pose pour \(P\in\R[X]\) : ...
exo7 4761
Soit \((\lambda_n)\) une suite de réels strictement positifs. On lui associe la norme sur ...
exo7 4765
Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E \times F\). On pose pour ...
exo7 4766
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) réelles borné ...
exo7 4768
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(\R \to \R\) lipschitziennes. Pour ...
exo7 4769
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : {[0,1]} \to \R\) de classe ...
exo7 4770
\(E=C([0,1],\R)\). Soit \(g\in E\). Pour tout ...
exo7 4772
Soit \((E,\|\ \|)\) un \(\R\)-evn et ...
exo7 4780
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(C \subset E\) convexe et dense. Montrer ...
exo7 4796
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P \in E\), on pose : ...
exo7 4822
Soit \(u\) une application linéaire de \(\R^n\) dans ...
exo7 5867
On munit \(\mathcal{M}_p(\Cc)\) d’une norme sous-multiplicative notée \(\|\;\|\). ...
exo7 6057
On considère dans \({\Rr}^2\), les deux applications ...
exo7 6059
Soit \(N\) un entier \(\geq1\), et \(E\), l’espa ...