Programme de mathématiques PSI
d) Topologie d’un espace vectoriel normé
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Point intérieur à une partie. | |
Ouvert d’un espace normé. Stabilité par réunion quelconque, par intersection finie. | Une boule ouverte est un ouvert. |
Fermé d’un espace normé. | Caractérisation séquentielle. Une boule fermée, une sphère, sont des fermés. |
Stabilité par réunion finie, par intersection quelconque. | |
Point adhérent à une partie, adhérence. | L’adhérence est l’ensemble des points adhérents. Caractérisation séquentielle. Toute autre propriété de l’adhérence est hors programme. |
Partie dense. Invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente. |
exo7 4741
Soit \(A\) une partie de \(\R^n\) non vide. On note pour ...
exo7 4742
Soient \(A,B\) deux parties compactes non vides de \(\R^n\).
Montrer qu’il ...
exo7 4743
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(A \subset E\) borné, ferm ...
exo7 4744
Soit \(K\) un compact convexe de \(\R^2\) d’intérieur non vide. Soit ...
exo7 4774
Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?
exo7 4775
Soient \(A,B\) deux parties non vides d’un evn \(E\). On note ...
exo7 4776
Soit \(F\) un fermé de \(\R^n\) et ...
exo7 4777
Soit \(\cal O\) un ouvert non vide d’un ev normé \(E\). Montrer que ...
exo7 4778
Soit \(E\) un evn et \(F\) un sev de \(E\).
exo7 4779
\(E\) est un \(\R\)-espace vectoriel normé et ...
exo7 4783
On pose \(E=C([0,1],\R)\) et on le munit de la norme \(N_{\infty}\). Soit ...
exo7 4784
Les solutions de l’équation \(u^2=\mathrm{id}_{\R^n}\) pour ...
exo7 4785
Soit \(A\) une partie convexe d’un evn \(E\).
exo7 4789
Soit \(n\in\N^*\) et \(\sigma\in\R^n\). On note ...
exo7 4796
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P \in E\), on pose : ...
exo7 4800
Soit \(f\) une fonction polynomiale sur \(\C\). Montrer que l’image par ...
exo7 4801
Soit \(P\in\C[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\C\) ...
exo7 4818
Soit \(E\) un \(\R\)-evn et \(f \in E^*\).
exo7 4822
Soit \(u\) une application linéaire de \(\R^n\) dans ...
exo7 4823
Soit \(E\) un evn et \(A \subset E\). On suppose que ...
exo7 4825
Soit \(E\) un evn de dimension supérieure ou égale à ...
exo7 4826
Soit \(E\) un evn réel et \(H\) un hyperplan de ...
exo7 4827
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(f : E \to {F.}\) ...
exo7 4829
Soit \(C\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 4835
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4849
Soit \(E = {\cal B}(\N,\R) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ born{é}es}\}\). On munit ...
exo7 4852
Montrer qu’un plan euclidien n’est pas réunion de cercles disjoints non réduits à un point.
exo7 500
Soit \(A\) une partie de \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 502
Soient \(A\) et \(B\) deux parties denses de ...
exo7 5844
Soient \(A\) et \(B\) des parties d’un espace vecto ...
exo7 5845
Trouver une partie \(A\) de \(\Rr\) telle que les sept ensembles ...
exo7 5846
Soit \(E\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des fonctions continues sur ...
exo7 5847
Soit \(A\) une partie non vide d’un espace vectoriel normé \((E,\|\;\|)\).
...exo7 6058
On considère dans \({\Rr}^2\) les 4 boules euclidiennes fermées de rayon \(1\) ce ...
exo7 6081
Soit \(f\) une application ouverte de \(X\) dans ...
exo7 6088
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\R\) ou ...
exo7 6089
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\C\) de boule unité fermée ...
exo7 6116
Montrer que \(\Zz\) et \(\Qq\) (munis de la topologie induite par celle de ...
exo7 6119
Montrer que le carré unité fermé et le disque fermé dans \({\Rr}^2\) sont homéomorphes.
exo7 6181
Montrer que dans un evn, la boule unité fermée est compacte si et seulement si la sphère unité est compacte.
exo7 6194
Soit \(E\) un espace normé, \(X\) et \(Y\) deux ...
exo7 6797
Soit \(K\) un compact contenu dans \(U\) un ouvert de ...
exo7 6807
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\Cc\). On désigne par ...
Ouverts et fermés dans $\R$
Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés dans \(\R\).
...
Ouverts et fermés dans $\R^2$
Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés dans \(\R^2\).
Représentation graphique de sous-ensembles de $\mathbb{R}^2$
Représenter graphiquement les sous-ensembles suivants de \(\mathbb{R}^2\). Lesquels sont des ouverts ? Aucune just ...
Étude d'un domaine de $\R^2$
Soit \(D = \{(x,y) \in \R^2 \, , \, y \geq 0 \, , \, x-y > 0\}\) un domaine de ...