Programme de mathématiques PSI
b) Polynôme caractéristique
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Polynôme caractéristique d’une matrice carrée, d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. | Par convention le polynôme caractéristique est unitaire. Notations $\chi_A$, $\chi_u$. Coefficients de degrés $0$ et $n-1$. |
Les valeurs propres d’un endomorphisme sont les racines de son polynôme caractéristique. | Spectre complexe d’une matrice carrée réelle. |
Multiplicité d’une valeur propre. Majoration de la dimension d’un sous-espace propre par la multiplicité. | Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, donc les mêmes valeurs propres avec mêmes multiplicités. |
Théorème de Cayley-Hamilton. | La démonstration n’est pas exigible. |
exo7 1702
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1703
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3}(\R)\) la matrice ...
exo7 1708
Déterminer toutes les suites \((u_{n})_{n\in\N}\) à valeur complexes telles que : ...
exo7 1709
Etant donnés quatre nombres réels \((u_{0},v_{0},w_{0},x_{0})\), on définit quatre nouveaux nombres ...
exo7 1710
Donner toutes les suites \((x_{n})\), \((y_{n})\) et ...
exo7 1711
Soit \(a\) un réel. On considère le système à \(n\) équations et ...
exo7 1712
On considère la matrice ...
exo7 1714
Soit la matrice ...
exo7 1715
Soit l’endomorphisme \(f\in\mathcal{L}(\Rr^3)\) dont la matrice dans la base canonique de ...
exo7 1719
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur ...
exo7 1722
Donner un exemple de deux matrices de \(\mathcal{M}_4(\Rr)\) ayant même polynôme caractéristique et même polynôme ...
exo7 1724
Soient \((x_n)_{n \in \N } ,\) \((y_n)_{n \in \N }\) et ...
exo7 1726
Etudier les solutions (suivant \(A\)) dans \(M_2 (\C )\) de l’équation ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 2457
Soit \(A, B\) deux matrices carrées d’ordre \(n\), ...
exo7 2467
Donner les valeurs propres, vecteurs propres et matrice de diagonalisation éventuelle des matrices suivantes dans ...
exo7 2468
Soit \(\mathbb K\) le corps des réels ou des complexes, et \(u\) l’endomorphisme ...
exo7 2469
Soit \(a,b,c\) trois réels et \(u\) l’endomorphisme de ...
exo7 2479
On considère la matrice \(N\times N\) ...
exo7 2563
Soit \(M\) la matrice réelle \(3\times3\) suivante : ...
exo7 2566
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&-1&2\end{pmatrix}\] Démontrer que ...
exo7 2567
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix}\] Factoriser le polynôme ca ...
exo7 2568
Soit \[A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\] Démontrer que ...
exo7 2573
(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...
exo7 2576
(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la ...
exo7 2581
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2583
Soit ...
exo7 2586
I
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matr ...
exo7 2587
Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\), montrer que ...
exo7 2590
La suite de Fibonacci \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\) est la suite \((F_n)_{n\geq 0}\) d ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2592
Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : ...
exo7 2594
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2595
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2599
Soit \(m\in\R\), et \(A\) la matrice ...
exo7 2600
Donner un exemple de matrice dans \(M_2(\R)\), diagonalisable sur \(\C\) mais non ...
exo7 2604
Soit \(\theta\in \R\), on considère l’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 2605
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2606
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 2607
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 2609
Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice ...
exo7 2610
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matrice suivante ...
exo7 2611
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. ...
exo7 2615
Questions préliminaires :
exo7 2762
Déterminer le polynôme caractéristique des matrices suivantes ...
exo7 2763
Rechercher les valeurs propres et vecteurs propres des matrices suivantes : ...
exo7 2765
Soit la matrice ...
exo7 2766
Soit la matrice ...
exo7 2777
Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3029
On dit que \(K\) est un corps gauche si \((K,+,\times)\) est un anneau et si ...