Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
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Série entière de la variable réelle, de la variable complexe. Lemme d’Abel : si la suite $\bigl(a_n z_0^n\bigr)$ est bornée alors, pour tout nombre complexe $z$ tel que $\lvert z\rvert < \lvert z_0\rvert$, la série $\sum a_n z^n$ est absolument convergente. | |
Rayon de convergence $R$ défini comme borne supérieure dans $[0,+\infty]$ de l’ensemble des réels positifs $r$ tels que la suite $(a_n r^n)$ est bornée. Intervalle ouvert de convergence. Disque ouvert de convergence. | La série $\sum a_n z^n$ converge absolument si $\lvert z\rvert < R$, et elle diverge grossièrement si $\lvert z\rvert > R$. |
Avec $R_a$ (resp. $R_b$) le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$, (resp. $\sum b_n z^n$) : – si $a_n = O(b_n)$, alors $R_a \geqslant R_b$ ; – si $a_n \sim b_n$, alors $R_a = R_b$. | Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, $R\bigl(\sum n^\alpha x^n\bigr) = 1$. Le résultat s’applique en particulier lorsque $a_n = o(b_n)$. |
Application de la règle de d’Alembert pour les séries numériques au calcul du rayon. Rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy de deux séries entières. | La limite du rapport $\dfrac{\lvert a_{n+1}\rvert}{\lvert a_n\rvert}$ peut être directement utilisée. |
Calcul d'une somme de série entière
Déterminer le domaine de convergence de la série entière ...
Calcul d'une somme de série entière
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Calcul d'une somme de série entière
On considère la série entière \(\displaystyle S(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(3x)^n}{n^2+3n+2}\).
Calcul d'une somme de série entière
Soit la série entière \(\displaystyle \sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n\).
Calcul d'une somme de série entière
En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer ...
Calcul de la somme d'une série entière
On considère la série entière : \[S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+2}x^n\]
Convergence de séries entières
Calculer le rayon \(R\) de convergence et déterminer le domaine \(D\) de converge ...
Domaine de convergence de séries sentières
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Domaine de convergence et somme d'une série sentière
- \question{ Vérifier que : $\forall n \in \N$, ...
DSE et Equations différentielles
Le but de cet exercice est de résoudre l’équation différentielle \[x(x-1)y''+3xy'+y=0\] avec les cond ...
Développement d'une fonction usuelle en série entière
À l’aide des développements en séries entières des fonctions usuelles, calculer les développements en séries entières en ...
Développement en série entière
Développer en série entière la fonction de la variable réelle suivante : \[f \colon x \mapsto \ln(x^2-5x+6)\]
Développement en série entière
Soit la fonction d’une variable réelle \(f \colon x \mapsto \ln(2+x-x^2)\).
Développement en série entière
Donner un développement en série entière de la fonction \(u \mapsto \ln(1-u)\), en précisant le rayon de convergen ...
Développement en série entière d'une fonction
Soit la fonction d’une variable réelle \(f \colon x \mapsto e^{x^2}-1\).
Etude d'une série entière
Soit la série entière d’une variable réelle définie par : ...
Etude d'une série entière
Déterminer le rayon de convergence de la série : \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n\] puis détermi ...
Etude de séries entières
Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles suivantes :
Etude de séries entières
On considère la série entière réelle \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{(n+1)x^n}{2^n}\).
Etude de séries entières
Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles suivantes :
exo7 4564
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.
exo7 4565
Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :
exo7 4566
Comment peut-on trouver le rayon de convergence d’une série entière dont la suite des coefficients admet une infinité de zéros ?
exo7 4567
Quel est le rayon de convergence de la série entière : ...
exo7 4568
Rayon de convergence \(R\) de la série entière ...
exo7 4569
On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : ...
exo7 4570
Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R > 0\). Déte ...
exo7 4571
On suppose que les séries \(\sum a_{2n}z^n\) et \(\sum a_{2n+1}z^n\) ont pour ray ...
exo7 4572
Soit \(a(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini et ...
exo7 4573
Pour \(n\in\N\) et \(x\in\R\) on pose ...
exo7 4574
Développer en série entière les fonctions suivantes :
exo7 4575
Développer en série entière : \(\ln(\sqrt{1-2x\ch a + x^2})\).
exo7 4576
Développer en série entière \(\frac{e^x}{1-x}\) puis \(\frac{e^{x^2}}{1-x}\).
exo7 4577
Développer en série entière \(f(x) = \sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}\).
exo7 4578
Développer \(f(x) = \frac x{1-x-x^2}\) en série entière en utilisant la relation : ...
exo7 4579
Quel est le coefficient de \(x^n\) dans ...
exo7 4580
Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...
exo7 4582
On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par : ...
exo7 4583
Montrer l’existence de \(f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kz^k\) pour \(z\in\C\), ...
exo7 4584
Soit ...
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)
exo7 4586
Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré ...
exo7 4587
Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{2^n}\) et ...
exo7 4588
Soit \((u_n)\) définie par, pour tout \(n\in \N\), ...
exo7 4589
Soit \(q \in {]-1,1[}\) et \(f(x) = \prod_{n=1}^\infty (1-q^nx)\).
exo7 4590
Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2ix}\). Montrer que \(f\) est de classe ...
exo7 4591
Soit \(\alpha>0\). On considère la fonction \(f_\alpha\) : ...
exo7 4592
Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...
exo7 4593
Pour \(x \in \R\) on pose \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n\sin\frac1{\sqrt n}\). ...
exo7 4594
Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entière ...