Programme de mathématiques PT
A - Compléments d’algèbre linéaire
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Cette section est organisée autour de trois objectifs :
- consolider les acquis de la classe de première année ;
- introduire de nouveaux concepts : produit et somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, sous-espaces stables, trace, hyperplans ;
- passer du point de vue géométrique au point de vue matriciel et inversement.
Le programme valorise les interprétations géométriques en dimensions 2 et 3 et préconise l’illustration des notions et résultats par de nombreuses figures.
- a) Produit d’espaces vectoriels, somme de sous-espaces vectoriels 16
- b) Sous-espaces stables 35
- c) Trace 30
- d) Hyperplans en dimension finie 5
exo7 1038
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \({K}\)-espac ...
exo7 1058
Soient \(A\) et \(B \in M_n(\mathbb{K} )\) deux matrices triangulaires supérieure ...
exo7 1107
On considère l’espace \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) des matrices carrées ...
exo7 1137
Calculer les déterminants suivants :
...
exo7 1159
Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...
exo7 1468
Montrer que sur \(M_{n}({\Rr})\) l’application : ...
exo7 1521
On appelle trace d’une matrice \(A\), et on note \(\mathrm{tr}(A)\), la ...
exo7 1522
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels et soit ...
exo7 1547
Soit \(A=(a_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq n}}\) une matrice symétrique réelle. Montrer que ses valeu ...
exo7 1550
Dans l’espace vectoriel \(\R^{4}\) muni de son produit scalaire canonique, on considère l’endomorphisme ...
exo7 1575
Soit \(P\in \C [X]\) tel que \(P(0)=0\) et ...
exo7 1601
Soient \(A \in \mathcal{M}_4 \left (\mathbb{R} \right )\) et ...
exo7 1605
On considère les matrices suivantes : ...
exo7 1628
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes diagonalisables de ...
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...
exo7 1685
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1689
Soit \(f\) l’endomorphisme de l’espace vectoriel canonique \(\Rr^3\) dont la matr ...
exo7 1723
Soit le \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 1909
Déterminer le centre de gravité du culbuto (homogène), i.e. le cône ...
exo7 2211
Démontrer l’identité \[(A + UBV)^{-1} = A^{-1} -A^{-1} U( I+BVA^{-1}U)^{-1} BVA^{-1}\] en précisant:
-
...
exo7 2442
Pour toute matrice carrée \(A\) de dimension \(n\), on appelle trace de ...
exo7 2564
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 3187
Donner un isomorphisme \(f\) entre \(\C^{n+1}\) et ...
exo7 3357
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL(\R^n)\) et ...
exo7 3377
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de ...
exo7 3430
Soient \(A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)\) avec \(A\) inversible et ...
exo7 3438
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\), ...
exo7 3469
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) de rang 1. Montrer que \(A\) est une matrice de p ...
exo7 3471
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)\). On consi ...
exo7 3475
Soit \(M = \begin{pmatrix} A & B \cr C & D \cr \end{pmatrix}\) une matrice carrée décomposée en blocs. On ...
exo7 3480
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
exo7 3482
Soit une matrice \(M\) de rang \(r\) telle que : ...
exo7 3495
Soit \(E\) un \(\R\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3536
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3564
Soient \(A,B,C\in\mathcal{M}_n(\C)\) telles que \(AC = CB\) et ...
exo7 3575
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) finie, ...
exo7 3599
Soit \(A \in GL_n(\C)\) et ...
exo7 3600
Soit \(M = \begin{pmatrix} A &B \cr C &D \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(K)\) diagonalisable avec ...
exo7 3601
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) et ...
exo7 3603
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(n\) et ...
exo7 3641
Soit \(E = \mathcal{M}_n(K)\). Pour \(A \in \mathcal{M}_n(K)\), on note ...
exo7 3646
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3653
Soient \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) trois sev de ...
exo7 3654
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\) ...
exo7 3655
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie, ...
exo7 3657
Soit \(E\) un \(K\)-ev, \(E_1,\dots,E_n\) des se ...
exo7 3697
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3728
Soit \(A = (a_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\R)\) à coefficients tous non nuls. On note ...
exo7 3740
On définit l’application \(\varphi : A\in\mathcal{M}_n(\R) \mapsto \sum_{i,j}a_{i,j}^2\). Trouvez les matrices ...
exo7 3751
\(E = \mathcal{M}_n(\R)\) muni du produit scalaire : ...