Programme de mathématiques PT
A - Compléments d’algèbre linéaire
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Cette section est organisée autour de trois objectifs :
- consolider les acquis de la classe de première année ;
- introduire de nouveaux concepts : produit et somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, sous-espaces stables, trace, hyperplans ;
- passer du point de vue géométrique au point de vue matriciel et inversement.
Le programme valorise les interprétations géométriques en dimensions 2 et 3 et préconise l’illustration des notions et résultats par de nombreuses figures.
- a) Produit d’espaces vectoriels, somme de sous-espaces vectoriels 16
- b) Sous-espaces stables 35
- c) Trace 30
- d) Hyperplans en dimension finie 5
exo7 3757
Soit \(G\) un sous groupe compact de \(GL_n(\C)\). Si ...
exo7 3781
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique de valeurs propres ...
exo7 3810
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) de valeurs propres ...
exo7 3817
Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer que si l’un des coefficients diagonaux ...
exo7 4763
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), on pose \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}\). ...
exo7 5364
Calculer :
exo7 5368
Soit \((A,B)\in(M_n(\Rr))^2\) et ...
exo7 5482
Pour \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), ...
exo7 5586
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 5590
Soit \(E\) un espace de dimension finie. Montrer que la trace d’un projecteur est s ...
exo7 5591
Soient \(p_1\),..., \(p_n\) ...
exo7 5592
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace de dimension finie ...
exo7 5619
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5624
Soit \(M\in\mathcal{M}_3(\Rr)\). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
...exo7 5636
On définit par blocs une matrice \(A\) par ...
exo7 5647
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5662
Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
exo7 5663
Soient \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc\)) et ...
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 5804
La matrice ...
exo7 5857
On munit \(E=\mathcal{M}_n(\Rr)\) de la norme \(N\) définie par ...
exo7 7365
Calculer les produits de matrices \(ADA^{-1}\) et \(BDB^{-1}\) dans ...
exo7 7417
Deux plans de l’espace affine \(\Rr^3\) peuvent-ils avoir un unique point d’intersection ?
exo7 7421
Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
exo7 7809
On considère la forme symplectique sur \(\Rr^{2n}\) donnée par ...
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...
exo7 925
Soient \(U, V, W\) des s.e.v. d’un e.v. \(E\), vérifiant ...
exo7 934
Soit \(E\) un espace vectoriel et soient \(E_1\) et ...
exo7 947
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 966
Soient \(U\) et \(V\) deux ensembles non vides et ...
exo7 969
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). Un hyperplan ...
exo7 991
On désigne par \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Les p ...