Programme de mathématiques PT
B - Fonctions de deux ou trois variables
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Cette section est consacrée aux fonctions de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$ pour $p = 2$ ou $3$, sauf dans le paragraphe (g). Leur étude est axée sur la mise en place d’outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie.
La notion de différentielle est hors programme.
- a) Topologie de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ 64
- b) Limite et continuité 96
- c) Dérivées partielles d’ordre 1 0
- d) Dérivées partielles et composées 3
- e) Dérivées partielles d’ordre 2 3
- f) Extremums d’une fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ 9
- g) Fonctions de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^n$ ($p \leqslant 3$, $n \leqslant 3$) 61
exo7 4796
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P \in E\), on pose : ...
exo7 4801
Soit \(P\in\C[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\C\) ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 4818
Soit \(E\) un \(\R\)-evn et \(f \in E^*\).
exo7 4822
Soit \(u\) une application linéaire de \(\R^n\) dans ...
exo7 4823
Soit \(E\) un evn et \(A \subset E\). On suppose que ...
exo7 4826
Soit \(E\) un evn réel et \(H\) un hyperplan de ...
exo7 4827
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(f : E \to {F.}\) ...
exo7 4858
Soit \(f : {I\subset \R} \to {\R^2}\) une fonction continue, \(D\) une droite de ...
exo7 500
Soit \(A\) une partie de \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 502
Soient \(A\) et \(B\) deux parties denses de ...
exo7 5387
Montrer que la fonction caractéristique de \(\Qq\) est discontinue en chacun de ses points.
exo7 5553
Etudier l’existence et la valeur éventuelle d’une limite en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 5554
On pose ...
exo7 5556
Soit ...
exo7 5844
Soient \(A\) et \(B\) des parties d’un espace vecto ...
exo7 5845
Trouver une partie \(A\) de \(\Rr\) telle que les sept ensembles ...
exo7 5848
Soient \((E,N_E)\) et \((F,N_F)\) deux espaces vectoriels normés. Soient ...
exo7 5888
Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5889
Soit ...
exo7 5900
Soit \((E,\|\;\|)\) un espace vectoriel normé et \(B=\{x\in E/\;\|x\| < 1\}\). ...
exo7 5902
Maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur à un triangle \(ABC\) ...
exo7 6058
On considère dans \({\Rr}^2\) les 4 boules euclidiennes fermées de rayon \(1\) ce ...
exo7 6068
Soit \(f\) une application continue de \(\R\) dans ...
exo7 6069
Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...
exo7 6073
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels normés et on note ...
exo7 6077
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...
exo7 6088
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\R\) ou ...
exo7 6089
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\C\) de boule unité fermée ...
exo7 6116
Montrer que \(\Zz\) et \(\Qq\) (munis de la topologie induite par celle de ...
exo7 6119
Montrer que le carré unité fermé et le disque fermé dans \({\Rr}^2\) sont homéomorphes.
exo7 6122
Soit \(F\) l’application de \({\Rr}^+\) dans ...
exo7 6132
Soit \(F\) un fermé de \(\Rr\), et \(f\) une app ...
exo7 6163
Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) dans ...
exo7 6184
Soit \(f\) une surjection continue de \(\Rr^2\) sur ...
exo7 6190
On considère une suite \((x_n)\) de \([0,1]\) telle que ...
exo7 6191
On note \({\mathbb{S}^1}\) le cercle unité dans \({\Rr}^2\), et ...
exo7 6194
Soit \(E\) un espace normé, \(X\) et \(Y\) deux ...
exo7 6195
Soit \(E\) un espace normé, \(X\) et \(Y\) deux ...
exo7 6197
Trouver l’ensemble des valeurs d’adhérence quand \(x\to 0\) de ...
exo7 6200
Soit \(E=C_b(\Rr)\) muni de la norme uniforme; pour \(f\in E\), on note ...
exo7 6207
Soit \(K\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 6239
On désigne par \(E\) l’espace \(C([0,1])\) muni de la norme uniforme et l’opérate ...
exo7 6298
Dans \(\Rr^n\), on pose ...
exo7 6333
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 6402
Montrer que \(3\) points \(x, y\) et \(z\) sont ...
exo7 651
Donner un exemple de fonction continue sur \([0,1]\) non lipschitzienne, puis de fonction continue en un seul poin ...
exo7 665
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), montrer : ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 6775
(D’abord un cas particulier) Dans \(\Rr^3\) on considère les objets suivants : le demi-espace ...