Programme de mathématiques PT
Fonctions vectorielles d’une variable réelle et courbes paramétrées
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La section sur les fonctions vectorielles trouve une illustration naturelle dans l’étude des courbes paramétrées.
Il convient de formaliser des notions géométriques (courbe paramétrée, tangente) et cinématiques (vitesse, accélération) rencontrées dans d’autres disciplines scientifiques.
Sur des exemples, l’étude d’une courbe paramétrée peut être amenée par la détermination d’un lieu géométrique.
La longueur d’une courbe paramétrée est définie par la formule intégrale et tout développement théorique est hors programme. On peut cependant présenter la définition géométrique à l’aide de figures.
Dans l’étude des propriétés métriques d’une courbe paramétrée, les problèmes de régularité que l’on peut rencontrer dans les calculs n’ont pas à être soulevés et ils n’ont pas l’importance de l’interprétation géométrique que l’on peut obtenir.
L’étude des propriétés métriques d’une courbe paramétrée et celle de l’enveloppe d’une famille de droites privilégient la vision géométrique plutôt que le recours à l’application de formules.
L’étude des courbes définies par une équation polaire est hors programme.
- a) Fonctions vectorielles à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ ($n = 2$ ou $3$) 0
- b) Courbes paramétrées du plan et de l’espace 84
- c) Étude des courbes paramétrées du plan 46
- d) Propriétés métriques d’une courbe plane 52
- e) Enveloppe d’une famille de droites 18
exo7 4857
Soient \({f,g} : {I\subset \R} \to E\) deux fonctions vectorielles de classe ...
exo7 4893
Soit un triangle \(ABC\), \(A',B',C'\), les milieux des côtés, et ...
exo7 4916
Soit \({\cal E}\) un ellipse de centre \(O\) et de dimensions ...
exo7 4982
Étudier les points stationnaires des courbes paramétrées suivantes :
exo7 4983
Étudier les branches infinies des courbes paramétrées suivantes :
exo7 4984
Déterminer les points d’inflexion des courbes paramétrées suivantes :
exo7 4985
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équations paramétriques : ...
exo7 4986
Construire la courbe d’équations paramétriques : \(x=\frac t{t^2-1}\), ...
exo7 4987
Dessiner la courbe d’équation cartésienne : \(x^3+y^3 = 3xy\) (folium de Descartes) On prendra ...
exo7 4990
Tracer la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 4991
Soient \(O\) et \(A\) deux points distincts dans un plan ...
exo7 4992
Déterminer les points doubles de la courbe d’équation polaire \(\rho = \frac{\theta}{\theta^2-1}\).
exo7 4993
Construire les courbes en polaires suivantes :
exo7 4994
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 4995
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 4996
Soit \(D\) une droite du plan et \(\mathcal{C}\) une courbe paramétrée. Pour ...
exo7 4997
Soit \(D\) une droite du plan et \(\mathcal{C}\) une courbe paramétrée. Pour ...
exo7 4998
\[
\]
Trouver les courbes ...
exo7 4999
Trouver les arcs biréguliers du plan dont le cercle osculateur est en tout point tangent à une droite fixe.
exo7 5000
Déterminer les courbes planes telles que l’image du cercle osculateur en un point \(M\) par l’homothétie de centre ...
exo7 5001
On se place dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Donner l’ensemble des trajectoires orthogonales de la famille des cercle ...
exo7 5002
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction continue. On étudie les courbes planes paramétrées par une abscisse curviligne, ...
exo7 5003
Chercher les courbes planes vérifiant l’équation intrinsèque :
exo7 5004
Trouver les courbes planes \(\mathcal{C}\) telles que le centre de courbure reste sur un cercle ...
exo7 5005
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe plane et \(s\) une abscisse curviligne sur ...
exo7 5006
Trouver les courbes \(\Gamma\) du plan ayant la propriété suivante : Soit ...
exo7 5007
Déterminer les branches infinies pour les courbes paramétrées suivantes :
exo7 5008
\(x=2t^3+3t^2\), \(y=3t^2+6t\)
exo7 5009
Soit \(\mathcal{C}\) le cercle : \(x^2+y^2=1\). Soit ...
exo7 5010
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(O\) et de rayon ...
exo7 5011
Soit \(\cal P\) la parabole d’équation \(y^2 = 2px\). Chercher l’enveloppe des co ...
exo7 5012
Soit \(\cal P\) la parabole d’équation \(y^2 = 2px\). Pour ...
exo7 5013
Soient \(M\), \(M'\) deux points d’une parabole ...
exo7 5014
Soit \(\cal P\) la parabole d’équation \(y^2 = 2px\).
exo7 5015
Soit \(\cal P\) une parabole, \(M \in \cal P\) et ...
exo7 5016
Soit \(\cal H\) une hyperbole de foyer \(F\). Trouver l’enveloppe des cordes ...
exo7 5017
Pour \(\theta \in \R\), on note \(A_\theta = (\cos\theta,\sin\theta)\). Chercher ...
exo7 5018
Chercher l’enveloppe d’un diamètre \(\Delta\) d’un cercle \(\cal C\) roulant sans ...
exo7 5019
Soit \(\cal C\) un cercle passant par \(O\) centré sur ...
exo7 5020
Tracer la courbe d’équation polaire \(\rho = \frac{a}{\cos 3\theta}\), \(a>0\) ...
exo7 5021
Soit \(\cal E\) une ellipse de centre \(O\), de paramètres ...
exo7 5022
Soit \(D\) une droite du plan et \(A\) un point non élément de ...
exo7 5023
Soient \(u,v,w\) de classe \({\cal C}^2\), ...
exo7 5024
Déterminer la longueur d’un arc \(\mathop{M_0M_t}\limits^\frown\) ou ...
exo7 5025
Soit la courbe paramétrée par : \(x = 2t^3+3t^2\),\(y = 3t^2+6t\). Calculer la lo ...
exo7 5026
Calculer la longueur totale des courbes suivantes :
exo7 5028
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue concave, \(\mathcal{C}^1\) par morceaux, ...
exo7 5029
Déterminer les coordonnées du centre de courbure au point \(M\) pour les courbes suivantes :
exo7 5030
Soit la courbe \(\Gamma\) définie par : \(xy = a^2\), ...
exo7 5031
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe plane paramétrée par une abscisse curviligne ...