Programme de mathématiques PT
Fonctions vectorielles d’une variable réelle et courbes paramétrées
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La section sur les fonctions vectorielles trouve une illustration naturelle dans l’étude des courbes paramétrées.
Il convient de formaliser des notions géométriques (courbe paramétrée, tangente) et cinématiques (vitesse, accélération) rencontrées dans d’autres disciplines scientifiques.
Sur des exemples, l’étude d’une courbe paramétrée peut être amenée par la détermination d’un lieu géométrique.
La longueur d’une courbe paramétrée est définie par la formule intégrale et tout développement théorique est hors programme. On peut cependant présenter la définition géométrique à l’aide de figures.
Dans l’étude des propriétés métriques d’une courbe paramétrée, les problèmes de régularité que l’on peut rencontrer dans les calculs n’ont pas à être soulevés et ils n’ont pas l’importance de l’interprétation géométrique que l’on peut obtenir.
L’étude des propriétés métriques d’une courbe paramétrée et celle de l’enveloppe d’une famille de droites privilégient la vision géométrique plutôt que le recours à l’application de formules.
L’étude des courbes définies par une équation polaire est hors programme.
- a) Fonctions vectorielles à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ ($n = 2$ ou $3$) 0
- b) Courbes paramétrées du plan et de l’espace 84
- c) Étude des courbes paramétrées du plan 46
- d) Propriétés métriques d’une courbe plane 52
- e) Enveloppe d’une famille de droites 18
exo7 5032
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équations paramétriques ...
exo7 5033
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 5034
Déterminer le rayon de courbure de la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation : ...
exo7 5036
Déterminer l’ensemble des centres de courbure en \(O\) aux courbes intégrales de l’équation différentielle ...
exo7 5037
Soit \(\mathcal{C} : t \mapsto M_t\) une courbe plane paramétrée sans point stationnaire. Les courbes parallèles à ...
exo7 5038
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe paramétrée, \((M,\vec t,\vec n)\) le repère de Fr ...
exo7 5039
Soit \(\mathcal{C}\) le cercle d’équation \(x^2+y^2-2Rx = 0\) et ...
exo7 5040
Construire la courbe \(\mathcal{C}\) d’équations paramétriques : \(x=3t-t^3\), ...
exo7 5041
Déterminer la développante de la chainette \(\mathcal{C}\) d’équation ...
exo7 5042
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) définie par : \(x(t) = \frac{t^4}{1+t^2}\) ...
exo7 5043
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe de l’espace, et \(\Gamma\) la courbe décrite par ...
exo7 5044
Soit \(s \mapsto M_s\) une courbe de l’espace de classe \(\mathcal{C}^3\) paramét ...
exo7 5045
Soit \(s \mapsto M_s\) une courbe de l’espace de classe \(\mathcal{C}^3\) paramét ...
exo7 5062
Soit \((\Gamma)\) : ...
exo7 5523
(**) L’astroïde.
exo7 5524
Construire les courbes de paramétrisations :
exo7 5525
La courbe orthoptique d’une courbe \((\mathcal{C})\) est le lieu des points du plan d’où l’on peut mener (au moins ...
exo7 5526
Trouver les droites à la fois tangentes et normales à l’arc paramétré : ...
exo7 5527
Dans chacun des cas suivants, trouver une paramétrisation rationnelle de la courbe proposée puis construire
...
exo7 5528
Trouver une équation cartésienne des supports des arcs suivants :
exo7 5529
Soit \(T\) l’intersection de \((Ox)\) et de la tangente en ...
exo7 5530
Construire les courbes suivantes :
exo7 5532
Soit la courbe d’équation polaire \(r=a(1+\cos\theta)\), \(a>0\).
exo7 5534
Développée de la spirale logarithmique d’équation polaire \(r=ae^{\theta}\) ( ...
exo7 5536
Déterminer et construire la développée
exo7 5537
Trouver le point de la courbe d’équation \(y=\ln x\) en lequel la valeur absolue du rayon de courbure est minimum. ...
exo7 5538
Soit \((\Gamma)\) la courbe d’équation \(y=\ln(\cos x)\), pour ...
exo7 5539
Pour \(\lambda\in\Rr\), on note \((\Gamma_\lambda)\) la courbe d’équation ...
exo7 5818
Déterminer l’orthoptique d’une parabole, c’est-à-dire l’ensemble des points du plan par lesquels il passe deux tangentes à la parabole qui soient p ...
exo7 6398
Soient \(\xi(t)\) et \(\eta(t)\) deux courbes paramétrées de ...
exo7 6399
Pour la courbe \(r = (a \cos t, a\sin t, bt)\), \(a>0\), ...
exo7 6400
Montrer qu’une courbe \(s \mapsto r (s)\) est plane ssi ...
exo7 6402
Montrer que \(3\) points \(x, y\) et \(z\) sont ...
exo7 6731
Calculer \(\int_C(x+2y)\ dx+(y-2x)\ dy\) le long de l’ellipse \(C\) définie par ...
exo7 6983
Étudier et tracer les courbes paramétrées suivantes:
exo7 6984
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe plane paramétrée par ...
exo7 6985
Montrer que la courbe paramétrée ...
exo7 6986
Montrer que la courbe paramétrée ...
exo7 6987
On considère la courbe paramétrée définie par ...
exo7 6988
Trouver les droites à la fois tangentes et orthogonales à la courbe ...
exo7 6989
Étudier les courbes d’équations polaires suivantes:
exo7 6990
On considère les courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) (des li ...
exo7 7452
On considère dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé la courbe \(C\) d’équation polaire ...
exo7 7599
Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.
exo7 805
Construire la courbe paramétrée ...
exo7 806
Représenter la courbe définie par son équation polaire \(\rho=a\sin^3\frac{\theta}{3}\). Calculer sa longueur ...
exo7 808
On appelle cycloïde la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon \(R\), lié à ce cercle, quand cel ...
exo7 809
On appelle épicycloïde la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon \(r\), lié à ce cercle, quand ...
exo7 810
Soit \(C\) un cercle fixe de rayon \(R\). Un cercle ...