Texte officiel du programme
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- étudier la convergence d’une série entière et mettre en évidence la notion de rayon de convergence ;
- étudier la régularité de la somme dans le cas d’une variable réelle ;
- établir les développements en série entière des fonctions usuelles.
Les séries entières trouveront un cadre d’application dans la notion de fonction génératrice en probabilités et au détour d’exemples de résolutions d’équations différentielles linéaires.
- a) Généralités 100
- b) Régularité de la somme d’une série entière d’une variable réelle 17
- c) Développement en série entière au voisinage de 0 d’une fonction d’une variable réelle 90
- d) Séries géométrique et exponentielle d’une variable complexe 34
exo7 4571
On suppose que les séries \(\sum a_{2n}z^n\) et \(\sum a_{2n+1}z^n\) ont pour ray ...
exo7 4572
Soit \(a(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini et ...
exo7 4573
Pour \(n\in\N\) et \(x\in\R\) on pose ...
exo7 4574
Développer en série entière les fonctions suivantes :
exo7 4575
Développer en série entière : \(\ln(\sqrt{1-2x\ch a + x^2})\).
exo7 4576
Développer en série entière \(\frac{e^x}{1-x}\) puis \(\frac{e^{x^2}}{1-x}\).
exo7 4577
Développer en série entière \(f(x) = \sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}\).
exo7 4578
Développer \(f(x) = \frac x{1-x-x^2}\) en série entière en utilisant la relation : ...
exo7 4579
Quel est le coefficient de \(x^n\) dans ...
exo7 4580
Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...
exo7 4582
On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par : ...
exo7 4583
Montrer l’existence de \(f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kz^k\) pour \(z\in\C\), ...
exo7 4584
Soit ...
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)
exo7 4586
Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré ...
exo7 4587
Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{2^n}\) et ...
exo7 4588
Soit \((u_n)\) définie par, pour tout \(n\in \N\), ...
exo7 4589
Soit \(q \in {]-1,1[}\) et \(f(x) = \prod_{n=1}^\infty (1-q^nx)\).
exo7 4590
Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2ix}\). Montrer que \(f\) est de classe ...
exo7 4591
Soit \(\alpha>0\). On considère la fonction \(f_\alpha\) : ...
exo7 4592
Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...
exo7 4593
Pour \(x \in \R\) on pose \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n\sin\frac1{\sqrt n}\). ...
exo7 4594
Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entière ...
exo7 4595
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4596
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4597
Montrer que l’équation \(3xy' + (2-5x)y = x\) admet une solution développable en série entière autour de ...
exo7 4598
En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...
exo7 4599
On pose \(f(x) = \frac{\Arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\).
exo7 4600
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\strut C_{2n}^n}\).
exo7 4601
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,x^{2n+1}}{1.3.5\dots(2n+1)}\).
exo7 4602
On note \(T_n\) le nombre de partitions d’un ensemble à \(n\) éléments.
exo7 4603
Soit \((a_n)\) la suite réelle définie par : \(a_0 = 1\), ...
exo7 4604
Pour \(|x| < 1\) on pose : \(Z(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta(2n)x^n\).
M ...
exo7 4605
On note \(\zeta_i(n) = \sum_{k=0}^\infty \frac1{(2k+1)^n}\) et ...
exo7 4606
Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...
exo7 4607
A l’aide d’un développement en série entière, montrer que ...
exo7 4608
On admet que \(\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...
exo7 4609
Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).
exo7 4610
Montrer que pour \(x \in {]-1,1[}\) : ...
exo7 4611
Montrer que la longueur d’une ellipse de demi-axes \(a,b\) est : ...
exo7 4612
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\). Montrer, ...
exo7 4613
Soit \(f(z) = \sum a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\) telle que pour tout ...
exo7 4615
Soit \(P\in\C[X]\) ayant pour racines \(z_1,\dots,z_k\) de multiplicités ...
exo7 4616
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence e ...
exo7 4617
Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...
exo7 4618
Soit \(A\) l’ensemble des suites \((a_n)\) de complexes telles que la série entiè ...
exo7 4619
Soit \(z_1,\dots,z_p\in \C\), \(p_1,\dots,p_p \in \R^+\) tels que ...
exo7 4620
Soit \(D\) le disque ouvert de \(\C\) de centre ...
exo7 4621
Développer en série entière \(f\) : \(z \mapsto z(1-z)^{-2}\). Montrer que ...
exo7 4654
Soit \(R\) une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n’ayant pas de pôle da ...