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Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : \[I = \int_0^1 \ln(t)\ln(1-t)\mathrm{d}t\] à l’aide d’un dével ...

Déterminer le domaine de convergence de la série entière ...

On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...

On considère la série entière \(\displaystyle S(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(3x)^n}{n^2+3n+2}\).

On considère la série entière : \[S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+2}x^n\]

1. \question{ Vérifier que : $\forall n \in \N$, ...

À l’aide des développements en séries entières des fonctions usuelles, calculer les développements en séries entières en ...

Développer en série entière la fonction de la variable réelle suivante : \[f \colon x \mapsto \ln(x^2-5x+6)\]

Soit la fonction d’une variable réelle \(f \colon x \mapsto \ln(2+x-x^2)\).

Donner un développement en série entière de la fonction \(u \mapsto \ln(1-u)\), en précisant le rayon de convergen ...

Soit la fonction d’une variable réelle \(f \colon x \mapsto e^{x^2}-1\).

On supposera connues les relations suivantes : ...

On considère les fonctions \[f(x)=\frac{1}{3+\frac{x}{2}} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.\]

Déterminer le rayon de convergence de la série : \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n\] puis détermi ...

Soit \(f\) l’application de \(\Rr\) dans \(\Rr\) ...

Soit \(f\in C^{\infty }({\Rr},{\Rr})\) telle que ...

A

Développer de deux manières \((1-e^x)^n\) en \(0\) à l’ordre ...

Soit \(\lambda\in\R\) et ...

Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …

Développer, pour tout \(x>0\), ...

Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}\).

Soient \(a,b,c\in\N^*\). On pose ...

Déterminer l’ensemble de définition de \(f(x) = \sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{x+k}\). Montrer que ...

Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2n^2}\) sous réserve de convergence ...

Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\) et ...

Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}\).

Montrer, pour \(x > 0\) : ...

Pour \(y\in\R\) et \(n\in\N^*\), on pose ...

Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1-t^n}\).

Soit \(a(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini et ...

Développer en série entière les fonctions suivantes :

Développer en série entière : \(\ln(\sqrt{1-2x\ch a + x^2})\).

Développer en série entière \(\frac{e^x}{1-x}\) puis \(\frac{e^{x^2}}{1-x}\).

Développer en série entière \(f(x) = \sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}\).

Développer \(f(x) = \frac x{1-x-x^2}\) en série entière en utilisant la relation : ...

Quel est le coefficient de \(x^n\) dans ...

Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...

Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré ...

Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{2^n}\) et ...

Soit \((u_n)\) définie par, pour tout \(n\in \N\), ...

Soit \(q \in {]-1,1[}\) et \(f(x) = \prod_{n=1}^\infty (1-q^nx)\).

Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2ix}\). Montrer que \(f\) est de classe ...

Soit \(\alpha>0\). On considère la fonction \(f_\alpha\) : ...

Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...

Montrer que l’équation \(3xy' + (2-5x)y = x\) admet une solution développable en série entière autour de ...

En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...

On pose \(f(x) = \frac{\Arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\).

Pour \(|x| < 1\) on pose : \(Z(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta(2n)x^n\).

M ...

On note \(\zeta_i(n) = \sum_{k=0}^\infty \frac1{(2k+1)^n}\) et ...