Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
a) Opérations sur les matrices
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans le corps $\mathbb{K}$. Addition, multiplication par un scalaire, combinaisons linéaires. | |
Matrices élémentaires. | Toute matrice de $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ est combinaison linéaire de matrices élémentaires. |
Produit matriciel ; bilinéarité, associativité. | Si $X$ est une matrice colonne, $AX$ est une combinaison linéaire des colonnes de $A$. |
Produit d’une matrice élémentaire de $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ par une matrice élémentaire de $\mathscr{M}_{p,q}(\mathbb{K})$. | Symbole de Kronecker $\delta_{i,j}$. |
Transposée d’une matrice. Opérations sur les transposées : combinaison linéaire, produit. | Notation $A^\top$. |
exo7 2446
Une matrice carrée réelle \(A\) est dite stochastique si ...
exo7 2573
(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...
exo7 2584
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. On suppose que dans ch ...
exo7 2598
On note \((\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) la base canonique de \(\R^3\). Soit ...
exo7 2600
Donner un exemple de matrice dans \(M_2(\R)\), diagonalisable sur \(\C\) mais non ...
exo7 2736
Les vecteurs complexes \((z, w)\) et \((z', w')\) sont liés par la formul ...
exo7 2737
Un cycliste s’entraîne chaque dimanche en faisant l’aller-retour d’Issy à Labat. Le trajet Issy-Labat n’est pas horizontal : il y a des montées, de ...
exo7 2747
On considère les matrices suivantes : ...
exo7 2748
Soient les matrices suivantes : ...
exo7 2777
Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3373
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3384
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)\). On dit que \(A\) est positive si tous ses c ...
exo7 3394
Soient \(A = \begin{pmatrix}-2&1&1 \cr 8&1&-5 \cr 4&3&-3 \cr\end{pmatrix}\) et ...
exo7 3397
Calculer \(A^k\) pour \(k \in \N\) :
exo7 3435
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Démontrer que : ...
exo7 3454
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3460
Soit \(P \in K_{n-1}[X]\) et \(A = \Bigl( P(i+j) \Bigr) \in \mathcal{M}_n(K)\). ...
exo7 3468
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer que : \(\mathrm{rg}(M) = 1 \iff\) il exi ...
exo7 3470
Soient \(x_1, \dots, x_p, y_1, \dots y_p \in K\). On note \(A,B\) les matrices d ...
exo7 3471
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)\). On consi ...
exo7 3473
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) de rang 1. On écrit \(M = P + iQ\) avec ...
exo7 3498
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3509
Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que : ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 3589
Soit \((M_n)\) une suite de points dans le plan, de coordonnées \((x_n,y_n)\) déf ...
exo7 3594
Trouver le commutant de \(\begin{pmatrix}2&-2&1\\ 2&-3&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\).
exo7 3598
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) diagonalisable. Soit ...
exo7 3601
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) et ...
exo7 3667
On munit \(\R^n\) du produit scalaire usuel. Soit ...
exo7 3809
Soit ...
exo7 4753
Soit \(A\in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que la suite \((A^k)\) converge vers une ma ...
exo7 5205
Construire l’ensemble des points \(M\) de coordonnées polaires ...
exo7 5268
Déterminer le centre de \(\mathcal{M}_n(\Kk)\), c’est à dire l’ensemble des éléments de ...
exo7 5273
Calculs par blocs.
exo7 5277
On pose \(u_0=1\), \(v_0=0\), puis, pour ...
exo7 5359
\(\sigma\) étant une permutation de \(\{1,...,n\}\) donnée, on définit la matrice ...
exo7 5364
Calculer :
exo7 5371
Soit ...
exo7 5585
Soient \(A\in\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)\) et \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)\) telles qu ...
exo7 5609
On appelle idéal bilatère de l’anneau \((\mathcal{M}_n(\Kk),+,\times)\) tout sous-ensemble I de ...
exo7 5611
Soient \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) et ...
exo7 5613
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et ...
exo7 5805
\(O_n(\Rr)\) est-il convexe ? \(O_n(\Rr)\) contient-il trois points alignés?
exo7 5861
Existe-t-il une norme \(N\) sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) ( ...
exo7 5870
Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc} 0&1/2&-2\\ 1/2&0&0\\ 0&0&-1/2 \end{array} \right)\). Ca ...
exo7 6004
Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, les probabilités de gagner ou perdre sont les mêmes; puis, on ...
exo7 6364
On considère \(A\) la matrice ...
exo7 6385
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\).
exo7 7608
On rappelle qu’à toute matrice \(A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\) de ...
exo7 7613
On rappelle qu’à toute matrice \(A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\) de ...