Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
a) Déterminant d’une matrice carrée
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Il existe une unique application $f:\mathscr{M}_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$ vérifiant les trois propriétés suivantes : i. $f$ est linéaire par rapport à chacune des colonnes de sa variable ; ii. $f$ est antisymétrique par rapport aux colonnes de sa variable ; iii. $f(I_n)=1$. | La démonstration de ce théorème pour $n\geqslant 4$ et la notion générale de forme multilinéaire sont hors programme. Pour $n\in\{2,3\}$, on fait le lien avec le produit mixte de deux ou trois vecteurs. On notera $\det(A)$ le nombre $f(A)$ pour toute matrice $A$ de $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. |
Complexes et matrices
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Compter les paramètres d'un RNN, LSTM et GRU
Le nombre de paramètres d’un réseau est un indicateur clé de sa capacité et de son coût d’entraînement. On note :
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Convolution 2D complète à la main avec padding same
On considère l’image \(I\) et le noyau \(K\) suivants : ...
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En utilisant le déterminant, justifier l’existence d’une matrice \(A\) vérifiant : ...
Déterminant d'un produit
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées telles que ...
exo7 1041
On considère la matrice suivante : ...
exo7 1043
On considère les deux matrices suivantes : ...
exo7 1044
Trouver les matrices qui commutent avec ...
exo7 1045
Soit ...
exo7 1046
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exo7 1047
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exo7 1049
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) ; on suppose que ...
exo7 1050
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...
exo7 1052
Soit \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cr 0 & -1 & 1 \cr 1 & -2 & 0 \cr \end{pmatrix}\). Cal ...
exo7 1053
Déterminer deux éléments \(A\) et \(B\) de ...
exo7 1054
Soit \(E\) le sous ensemble de \(M_3({\Rr})\) défini par ...
exo7 1055
Soit \(A\in M_2(\R ) .\) On nomme commutant de \(A\) et on note ...
exo7 1058
Soient \(A\) et \(B \in M_n(\mathbb{K} )\) deux matrices triangulaires supérieure ...
exo7 1059
Soit \(N\in M_n(\C )\) une matrice nilpotente. Calculer \(\hbox{det}(I+N) .\) Si ...
exo7 1060
Soit ...
exo7 1061
Soit \(A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\) ...
exo7 1062
Soit \(A = \begin{pmatrix} 0&0&0 \\ -2&1&-1 \\ 2&0&2 \end{pmatrix}\).
exo7 1067
Déterminer l’ensemble des matrices \(M\in M_{n}({\Rr})\) telles que : ...
exo7 1068
Soit \(M\in M_{n}({\Rr})\) telle que \(M-I_{n}\) soit nilpotente (ie ...
exo7 1069
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exo7 1070
Montrer que si \((A,B)\in M_{n}({\Rr})\) et \(AB=A+B\) alors ...
exo7 1071
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exo7 1072
Soit \(J\in M_{n}({\Rr})\) une matrice telle que : \(J^{2}=I\) et ...
exo7 1073
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exo7 1074
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exo7 1075
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exo7 1076
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exo7 1077
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exo7 1078
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exo7 1079
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exo7 1152
Inverser les matrices ...
exo7 1154
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exo7 1155
On considère les matrices :
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exo7 1157
Soit \(A \in M_3 (\Rr)\) anti-symétrique. Calculer \(\det (A)\). Ce résultat vaut ...
exo7 1159
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exo7 1181
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exo7 1187
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice ...
exo7 1313
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Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes : ...
exo7 1321
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L’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec ...
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exo7 1347
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