Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 3486
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projection. Montre ...
exo7 3487
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(p,q \in \mathcal{L}(E)\) deux projections. ...
exo7 3488
Soient \(p,q\) deux projections. Montrer les équivalences :
...
exo7 3489
Soit \(E\) un \(K\)-ev. Trouver tous les couples ...
exo7 3490
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3491
Soient \(p,q\) deux projections telles que \(p \circ q = 0\). Montrer que ...
exo7 3492
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) de rang 1. Montrer qu’il existe un unique ...
exo7 3494
Soit \(E = K^3\), \(F = \{ \vec X = (x,y,z) \text{ tq } x + 2y + z = 0 \}\) et ...
exo7 3495
Soit \(E\) un \(\R\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3511
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {(X-a)P'.}\) Chercher les v ...
exo7 3512
Soit \(E = K_{2n}[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X(X-1)P'-2nXP.}\) Cherc ...
exo7 3513
Soient \(\alpha, \beta, \gamma \in K\) distincts, et ...
exo7 3514
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(2-X).}\)
exo7 3515
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1) - P'.}\) ...
exo7 3516
Soit \(f \in \mathcal{L}({\R_n[X]})\) qui à \(P\) associe ...
exo7 3519
Soit \(E = \{ f : \R \to \R \text{ continues}\) tq \(f(x)\to 0\) lorsque ...
exo7 3521
Soit \(E = \mathcal{C}([0,+\infty[ \to\R)\) et ...
exo7 3523
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) et \(f : E \to E, u {\tilde u}\) avec ...
exo7 3543
Soient \(E\) un ev de dimension finie sur \(\C\) et ...
exo7 3545
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X^nP(1/X).}\)
exo7 3547
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3550
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 3556
Soit \(f\) un endomorphisme diagonalisable d’un ev \(E\) de dimension finie, ...
exo7 3557
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3558
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3560
Soient \(u,v,h\) trois endomorphismes de \(\R^n\) tels que : ...
exo7 3566
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3567
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). Déterminer les scalaires \(\lambda\) et les matr ...
exo7 3568
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathcal{L}(E)\). On c ...
exo7 3569
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 3570
Soit \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projection et ...
exo7 3571
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3572
Soient \(u,v\) deux endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) non nul tels que ...
exo7 3575
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) finie, ...
exo7 3579
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3585
Soit \(A=\begin{pmatrix}-1&2&1\cr2&-1&-1\cr-4&4&3\cr\end{pmatrix}\).
exo7 3596
En se déplaçant uniquement sur les arêtes d’un cube de côté 1, combien y a-t-il de chemins de longueur \(n\) pour ...
exo7 3603
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(n\) et ...
exo7 3608
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in\mathcal{L}(E)\) tel q ...
exo7 3614
Soit \(E = \R^3\) et \(H:x+2y+3z=1\) un plan affine de ...
exo7 3616
Un endomorphisme \(f\) est dit semi-simple si tout sous-espace stable par \(f\) a ...
exo7 3618
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 3619
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) ayant pour matrice ...
exo7 3625
Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+y-z\), ...
exo7 3626
Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+2y+3z\), ...
exo7 3627
Pour \(\vec x = (x_1,\dots,x_n) \in K^n\) on pose \(f_i(\vec x) = x_i+x_{i+1}\) ...
exo7 3628
Soit \(E = K_n[X]\). Montrer que la famille \({\cal F} = (f_0,\dots,f_n)\) est u ...
exo7 3630
Soit \(E = \R_3[X]\). On considère les formes linéaires : ...
exo7 3631
Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...
exo7 3632
Soit \(E = K_n[X]\). On note \(P_0 = 1\), ...