Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Géométrie du plan et de l’espace
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À l’issue de la terminale, les étudiants connaissent le plan géométrique euclidien et l’espace géométrique euclidien de dimension 3 en tant qu’ensembles de points, la façon d’associer à deux points $A$ et $B$ le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ainsi que les propriétés opératoires usuelles. À ce titre, on pourra utiliser la notation $B=A+\vec{u}$, équivalente à $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$.
Cette section permet d’illustrer géométriquement la théorie des systèmes linéaires et de renforcer l’intuition géométrique en lien avec l’étude des espaces vectoriels abstraits. Il convient d’avoir recours à de nombreuses figures en dimension 2 et en dimension 3.
exo7 2006
Soit \(O, A, B\) un triangle rectangle en \(O\). A toute droite ...
exo7 2008
Soit \(ABCD\) un carré direct et \(M\) un point de la droite ...
exo7 2010
Les quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 2011
Trouver une équation du plan \((P)\) défini par les éléments suivants, où \(A\), ...
exo7 2012
Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants? Dans ce dernier cas, donner un vecteur directeur de la droite ...
exo7 2013
Quelle est la nature de l’intersection des trois plans suivants? Si c’est un point en donner les coordonnées, si c’est une droite en donner un vect ...
exo7 2014
Les droites suivantes sont-elles sécantes, parallèles ou non coplanaires ? Si elles sont sécantes donner leur point d’intersection et si elles sont ...
exo7 2015
Dans chacun des cas suivants dire si la droite \((D)\) et le plan \((P)\) sont pa ...
exo7 2016
On considère les cinq points suivants: \(A(1,2,-1)\), \(B(3,2,0)\), ...
exo7 2018
On considère les quatre points suivants: \(A(2,0,0)\), \(B(-1,\sqrt{3},0)\), ...
exo7 2020
On considère la famille de plans \((P_m)_{m\in \Rr}\) définis par les équations cartésiennes : ...
exo7 2022
On considère les deux droites \((D): \left\{ \begin{array}{l} y-z=3\\ -x-y+2=0 \end{array} \right.\) et ...
exo7 2023
On se donne \(2\) droites \(D_1\) et \(D_2\) aya ...
exo7 2024
Déterminer les plans bissecteurs de :
\(P: x+y+z+3=0\) et ...
exo7 2025
Déterminer l’expression analytique de la réflexion \(s\) de plan \(x + y-z = 1\). ...
exo7 2026
Déterminer la distance du point \(M = (1, 2, 3)\) aux droites ...
exo7 2028
Écrire l’équation du plan passant par la droite ...
exo7 2029
Soit la droite d’équations ...
exo7 2030
Soit les droites \(D\) et \(D'\) non coplanaires : ...
exo7 2033
On considère les droites et les plans suivants dont les équations sont données dans le repère ...
exo7 2035
Soit \(P\) un plan muni d’un repère ...
exo7 2036
Soit \(P\) un plan muni d’un repère ...
exo7 2039
Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d’équation \(2x+2y-z=1\).
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2042
Tout ce problème se situe dans l’espace euclidien tridimensionnel muni d’un repère orthonormé direct ...
exo7 2043
Tout ce problème se situe dans l’espace euclidien tridimensionnel muni d’un repère orthonormé direct ...
exo7 2044
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((0,\vec{\strut\imath},\vec{\strut\jmath},\vec{\strut k})\). ...
exo7 2047
On fait rouler sans glissement un cercle de rayon \(1\) sur l’axe \((Ox)\). Déter ...
exo7 2048
Tracer la courbe d’équation \(x^{3} + y^{3} = 3xy\) en la coupant par les droites ...
exo7 2051
Tracer les courbes en polaires suivantes
\[\rho (\theta) = \sin (2\theta)\]
...
exo7 2052
Soit \(C\) un cercle du plan de centre \((1, 0)\) et de rayon ...
exo7 2053
Déterminer et tracer les courbes dont la tangente en tout point \(M\) fait un angle de ...
exo7 2054
Grâce aux coordonnées polaires, tracer la courbe définie implicitement par la relation ...
exo7 2055
Tracer la courbe d’équation polaire : \[r=1+\cos \theta .\]
exo7 2056
Tracer les courbes d’équations polaires : ...
exo7 2061
Calculer le rayon de courbure de \(\rho (\theta) = \cos (\dfrac{\theta}3)\) en fonction de ...
exo7 2063
Soit \(\Gamma\) la courbe \(\rho (\theta) = \sqrt{\sin (2 \theta)}\).
exo7 2066
Soit \(\mathcal{P}\) une parabole de foyer \(F\), de directrice ...
exo7 2067
Déterminer l’ensemble des points d’où l’on peut mener deux tangentes orthogonales à une parabole.
exo7 2070
Déterminer astucieusement le sommet et l’axe de la parabole \(x (t) = t^2 + t + 1\) et ...
exo7 2114
Soit \(G\) un groupe vérifiant ...
exo7 2212
Soit \(A\) une matrice d’ordre \((m,n)\). Démontrer les inégalités suivantes pour ...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2222
Notons \(\tilde{A}_k\) la matrice carrée d’ordre \((n-k+1)\) formée des éléments ...
exo7 2237
Soit \(A=I-E-E^*\) une matrice carrée d’ordre \(N\) où ...
exo7 2316
Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([a,b]\subset\Rr\), à valeurs ...
exo7 2425
VRAI ou FAUX
exo7 2427
On note \(\R^n\) l’ensemble des \(n\)-uplets ...
exo7 2460
Identité du parallélogramme
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vecto ...
exo7 2461
Soit \(E=\R[X]\) l’espace des polynômes à coefficients réels. On définit ...