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Soit \(P\in \Qq [X]\) un polynôme de degré \(n\).

Montrer que le polynôme \(nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n\) admet une racine multiple. Application : déterminer les ...

Soit \(P=(X^2-X+1)^2+1\).

Soient \(P,Q\) deux polynômes à coefficients réels, non constants, de coefficients dominants positifs.

On n ...

Prouver que \(B\) divise \(A\), où :
...

Soit \(a\in\mathbb{C}\), \(P \in \mathbb{C}[X]\) et ...

Pour \(n\in \mathbb{N}^{\ast}\), quel est l’ordre de multiplicité de 2 comme racine du polynôme ...

Pour quelles valeurs de \(a\) le polynôme \((X+1)^7-X^7-a\) admet-il une racine m ...

Soit \(P\) le polynôme \(X^4+2X^2+1\). Déterminer les multiplicités des racines ...

Soient \(P \in \C[X]\) et \(f : {\R^2} \to \C, {(x,y)} \mapsto {P(x+iy).}\) Montr ...

Soit le polynôme \(P=X^8+2X^6+3X^4+2X^2+1\).

Soit \(U\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré \(n\) et à raci ...

Soit \(n \geq 2\) et \(P_n (X) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac 1{k ! }X^k\). ...

Résoudre les équations :

Soit \(P \in \Rr[X]\) scindé sur \(\Rr\) à racines simples.

Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+p}\) telle que ...

Soit \((P,Q)\in \Rr_{n}[X]^{2}\) tels que ...

Soient \(W_{n}=(X^{2}-1)^{n}, \ L_{n}=\frac{1}{2^{n}n!}W_{n}^{(n)}.\)

Montrer que si \(n\geq 3,\) l’équation \(x^{n}+y^{n}=z^{n}\) n’a pas de solution ...

Lemme : Soit \(P\in \Cc[X]\) non constant, \(z_{0}\in \Cc,\) montrer que ...

Soit \(P\in {\Rr}[X]\) un polynôme dont tous les zéros sont réels et distincts, montrer que ...

Soit \(K\subseteq\Cc\) un corps pour les lois usuelles sur \(\Cc\) et ...

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...

En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...

Soit \(P\in\C[X]\) ayant pour racines \(z_1,\dots,z_k\) de multiplicités ...

Soit \(P\in\C[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\C\) ...

Soit \(P\in\Cc[X]\) de degré supérieur ou égal à \(1\). Montrer que les racines d ...

Trouver tous les polynômes divisibles par leur dérivée.

Trouver un polynôme de degré \(5\) tel que \(P(X)+10\) soit divisible par ...

Trouver tous les polynômes \(P\) vérifiant \(P(2X)=P'(X)P''(X)\).

Soit \(P\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(4\).

Montrer qu ...

Pour \(n\) entier naturel non nul donné, on pose \(L_n=((X^2-1)^n)^{(n)}\).

Déterminer dans chacun des cas suivants la dérivée \(n\)-ème de la fonction proposée :

...

Soit \(P\) un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à \(2\).

Soit \(f(x)=\frac{x}{1-x^2}\). Calculer \(f^{(n)}(0)\) en moins de ...

Résoudre sur \(\Rr\) les équations différentielles : 

...

Sur \(E =\Rr_3[X]\), on pose pour tout \(P\in E\), ...

Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...

Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\). ...

Soit \(E=\Rr[X]\). Pour \((P,Q)\in E^2\), on pose ...

Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc} 0&1/2&-2\\ 1/2&0&0\\ 0&0&-1/2 \end{array} \right)\). Ca ...

Soit \(P\in{\Cc}[X]\) un polynôme de racines \(z_1,\ldots ,z_n\) distinctes ou no ...

Soit \(f:\Rr \to \Rr\) une application \(C^\infty\) et soit ...

Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur p ...

Calculer la dérivée du polynôme \((3X^2+2X-4)(4X^3-2X+3)\in \mathbb{F}_5 [X]\).

Déterminer les pgcd des polynômes suivants:

Soit \(n\in\Nn^*\) et \(P(X)=c(X-a_1)\cdots(X-a_n)\) (où les ...

Soient \(a\) et \(b\) deux réels et ...

Montrer que le polynôme \(P_n\) défini par ...