Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Structure vectorielle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Description de la structure vectorielle de $\mathbb{K}^n$, règles de calcul. | On fait le lien avec les règles habituelles du calcul sur les vecteurs du plan et de l’espace en géométrie. On pourra faire remarquer que certains ensembles rencontrés dans d’autres chapitres (ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$, ensemble des suites vérifiant une relation de récurrence linéaire, ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire, ensemble de matrices,…) possèdent eux aussi cette structure vectorielle, sans qu’aucune connaissance relative à la notion générale d’espace vectoriel ne soit requise à ce stade. |
Combinaison linéaire d’une famille finie de vecteurs. Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{K}^n$. | On entend par sous-espace vectoriel un ensemble de vecteurs stable par combinaison linéaire et contenant le vecteur nul. |
Intersection d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels. | |
Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs. Famille génératrice finie d’un sous-espace vectoriel. Famille libre finie, famille liée finie. | On utilise la notation $\mathrm{Vect}(x_1, x_2, \ldots x_k)$. |
Bases d’un sous-espace vectoriel. | On admet l’existence de bases pour tout sous-espace vectoriel autre que l’espace nul. |
Coordonnées d’un vecteur par rapport à une base. | Une interprétation matricielle est ici pertinente, amenant à parler de la matrice colonne associée au vecteur, puis de la matrice d’une famille de vecteurs. |
Base canonique de $\mathbb{K}^n$. | On veillera à ne pas travailler systématiquement dans la base canonique en mettant en évidence l’intérêt, dans certains contextes, de choisir une autre base. |
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On munit \(\Rr^n\) des lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivants ...
exo7 5166
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel. Soient ...
exo7 5167
Soit \(\Rr^\Nn\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des suites réelles (muni des opérati ...
exo7 5168
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) engendré par ...
exo7 5169
Montrer que \(a=(1,2,3)\) et \(b=(2,-1,1)\) engendrent le même sous espace de ...
exo7 5172
Soient \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5173
Dans \(E=\Rr^4\), on considère ...
exo7 5176
Montrer que la commutativité de la loi \(+\) est une conséquence des autres axiomes de la structure d’espace vecto ...
exo7 5178
Soient \(u=(1,1,...,1)\) et \(F=\mbox{Vect}(u)\) puis ...
exo7 5265
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5376
Donner une base du sous-espace vectoriel de \(\Rr^5\) défini par :
...
exo7 5565
\(E=\Kk^n\) où \(\Kk\) est un sous-corps de ...
exo7 5567
Montrer que \((1,\sqrt{2},\sqrt{3})\) est une famille libre du \(\Qq\)-espace vec ...
exo7 6869
Décrire les sous-espaces vectoriels de \(\Rr\) ; puis de \(\Rr^2\) et ...
exo7 6870
Soient \(v_1=(2,1,4)\), \(v_2=(1,-1,2)\) et ...
exo7 6871
Par des considérations géométriques répondez aux questions suivantes :
exo7 7410
Dans \(\Rr^4\) on considère les quatre vecteurs ...
exo7 7417
Deux plans de l’espace affine \(\Rr^3\) peuvent-ils avoir un unique point d’intersection ?
exo7 7419
Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
exo7 886
Déterminer lesquels des ensembles \(E_1\), \(E_2\), ...
exo7 887
Soit \(\R_+^*\) muni de la loi interne \(\oplus\) définie par ...
exo7 888
Parmi les ensembles suivants reconnaı̂tre ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.
...
exo7 889
Parmi les ensembles suivants, reconnaı̂tre ceux qui sont des sous-espaces
vectoriels :
...
exo7 890
Déterminer si \({ \Rr}^{2}\), muni des lois internes et externes suivantes, est ou n’est pas un ...
exo7 891
Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
exo7 894
On munit \(\Rr^2\) de l’addition usuelle et de la loi externe ...
exo7 895
Montrer que \(\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 /x + y + z = 0 \text{ et } 2x-y + 3z = 0\right\}\) est un sous-espace ve ...
exo7 897
Soient dans \(\Rr^3\) les vecteurs \(\vec{v_1}(1,1,0)\), ...
exo7 899
On considère dans \(\Rr^n\) une famille de \(4\) vecteurs linéairement indépendan ...
exo7 900
Soient dans \(\Rr^4\) les vecteurs \(v_1=(1,2,3,4)\) et ...
exo7 901
Dans \(\Rr^4\) on considère l’ensemble \(E\) des vecteurs ...
exo7 903
Dans l’espace \(\mathbb{R}^4\), on se donne cinq vecteurs : \(V_1=(1,1,1,1)\), ...
exo7 904
Soient les vecteurs \(e_1=(1,2,3,4)\), \(e_2=(1,-2,3,-4)\) de ...
exo7 905
Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\) et ...
exo7 906
Dans \(\mathbb{R}^4\), comparer les sous-espaces \(F\) et ...
exo7 908
Soit \(E\) le sous-espace vectoriel de \({\Rr}^3\) engendré par les vecteurs ...
exo7 909
Prouver que dans \({ \Rr}^{3}\), les vecteurs \(u_{1}=(2,3,-1)\) et ...
exo7 914
Peut-on déterminer des réels \(x, y\) pour que le vecteur \(v=(-2,x,y,3)\) appart ...
exo7 915
Soient \(f (x) = \cos (x)\), \(g (x) = \cos (x) \cos (2x)\) et ...
exo7 916
Soit \(\alpha \in \Rr\) et soit \(f_{\alpha} : \Rr\rightarrow \Rr\) la fonction d ...
exo7 919
Soient \(v_1=(0,1,-2,1), v_2=(1,0,2,-1), v_3=(3,2,2,-1), v_4 = (0,0,1,0)\) et ...
exo7 920
On considère les vecteurs \(v_1=(1,0,0,1)\), \(v_2=(0,0,1,0)\), ...
exo7 921
Si \(L,M,N\) sont trois sous-espaces vectoriels de \(E\), a-t-on : ...
exo7 925
Soient \(U, V, W\) des s.e.v. d’un e.v. \(E\), vérifiant ...
exo7 981
Montrer que les vecteurs \(v_1=(0,1,1)\), \(v_2=(1,0,1)\) et ...
exo7 982
On considère dans \(\mathbb{R}^4\), \(F=\mbox{lin}\{a,b,c\}\) et ...
exo7 983
Dans l’espace \(\mathcal{P}_5\) des polynômes de degré \(\leq 5\), on définit les ...
exo7 984
Dans \(\mathbb{R}^4\) on considère l’ensemble \(E\) des vecteurs ...
exo7 986
Étudier l’indépendance linéaire des listes de vecteurs suivantes, et trouver à chaque fois une base du sous-espace engendré.