Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Analyse 10 – Fonctions réelles de deux variables réelles
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En mathématiques, une épreuve écrite ou orale ne doit pas reposer sur ce chapitre.
- a) Notions fondamentales 84
- b) Continuité 29
- c) Dérivées partielles 249
- d) Dérivées partielles d’ordre deux 37
Ajuster une droite en pénalisant sa pente
On veut ajuster le modèle \(\widehat y=ax+b\) aux deux observations \((0,0)\) et ...
Associer une fonction à ses courbes de niveau
On considère les quatre fonctions suivantes :
...
Calcul de dérivées partielles
Une étude des glaciers a montré que la température T à l’instant t (mesuré en jours) à la profondeur \(x\) (mesuré ...
Calcul de dérivées partielles
On pose \(f: \R^2 \to \R\) définie pour tout \((x,y) \in \R^2\) par : ...
Calcul de dérivées partielles
Calcul de dérivées partielles au bord du domaine de définition
On considère la fonction \(f: \R^2 \to \R,\ (x,y) \mapsto \sqrt{x+5y}\).
Calcul de limite en l'origine par coordonnées polaires
Soit la fonction \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Composition de fonctions
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions d’une variable, de classe ...
Continuité et dérivées partielles de $f(x,y)=y^2\ln|x|$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Continuité et dérivées partielles en un point
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, dérivées partielles et non-différentiabilité en l'origine
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, dérivées partielles, classe $C^1$ et différentiabilité
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, lignes de niveau et points critiques de $f(x,y)=x^2 y$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Courbes de niveau
A chaque fonction définie ci-dessous (1-6), associer ses courbes de niveaux (A-F).
- ...
Courbes de niveaux
Déterminer les courbes de niveaux des fonctions suivantes et esquisser rapidement une représentation graphique d’un ensemble de celles-ci.
Différentiabilité
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Différentiabilité
Soit \(f: \R^2 \to \R,\ (x,y) \mapsto \sqrt[5]{2x^3+y^2}\). On note ...
Différentiabilité
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : \(\)f(x,y) = {
...Différentiabilité d'une fonction de deux variables
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Différentiabilité en un point
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes et si possible donner une représentation graphique.
Domaine de définition et lignes de niveau
On considère la fonction \(f\) définie par ...
Domaine, courbes de niveau et continuité
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Dérivée partielle via la règle de dérivation composée
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
Dérivées partielles
Soit \(u \colon t \mapsto u(t)\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
Dérivées partielles
Soit la fonction \(V \colon \R^2 \to \R\) définie par ...
Dérivées partielles et règle des chaînes
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Dérivées partielles et règle des chaînes
On considère une boîte dont la longueur \(\ell\), la largeur \(w\) et la hauteur ...
Dérivées partielles, composée et structure d’une fonction
Soit \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que ...
Effet de la normalisation sur le gradient
On dispose de deux exemples \(x^{(1)} = 1000\) et \(x^{(2)} = 2000\). La normalis ...
Effet du taux d'apprentissage sur la descente de gradient
On se place dans la situation suivante : \(w = 3\), gradient \(= 4\).
Etude d'extrema
Soit \(K = \{(x,y)\in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 16\}\). Pour tout \((x,y) \in K\), o ...
Etude d'extrema
On étudie la fonction de deux variables \[f \colon (x,y) \mapsto x\ln(y)-y\ln(x)\]
Etude d'un fonction de deux variables
On considère trois fonctions de deux variables \(f\), \(g\) et ...
Etude d'une fonction
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Etude de points critiques
Soit la fonction \(f\) de deux variables \(x\) et ...
Etude de points critiques et d'ue ligne de niveau
Une usine produit deux types de matériaux, notés \(A\) et \(B\). Si, en une semai ...
Etude de points critiques et d'une ligne de niveau
On pose \[f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2\]
exo7 1491
Déterminer \(\inf\limits_{ (a, b)\in \Rr^{2}} \int_{0}^{1}{ (e^{x}- (ax + b))^{2}dx}\).
exo7 1741
Représenter graphiquement et déterminer si les ensembles suivants sont des ouverts.
...
exo7 1754
Les sous-ensembles de \(\R^2\) suivants sont-ils ouverts ? Fermés ? Compacts ? ...
exo7 1785
Soit \(f \colon \R^2 \setminus \{(0,0)\} \to \R\) la fonction définie par ...
exo7 1786
Soit ...
exo7 1787
Déterminer les limites lorsqu’elles existent:
exo7 1788
Pour chacune des fonctions \(f\) suivantes, étudier l’existence d’une limite en ...
exo7 1789
Étudier la continuité des fonctions définies sur \(\R^2\) par ...
exo7 1790
Étudier la continuité de la fonction \(f_1:\R^2\rightarrow\R\) définie par ...
exo7 1791
Prolonger par continuité la fonction \({g}:{(\Rr^{2})^{*}}\to{\Rr}\), ...
exo7 1792
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) telle que ...
exo7 1793
Trouver les fonctions \(f\) continues sur \({\Rr}^{2}\) telles que : ...