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Calculer \(I_1=\displaystyle\int_0^{\pi/3}\bigl(1-\cos(3x)\bigr)\,dx\).

On rappelle que \(\sin^3 t = \sin t\,(1 - \cos^2 t)\).

On considère la fonction \(f(x) = \frac{1}{x(x + 1)}\).

Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction de classe \(C ^1 .\) Montrer qu ...

Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction continue telle que \(f(0)=0 .\) ...

Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction intégrable.

Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction continue. Montrer que ...

Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que ...

Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...

Donner un exemple d’une fonction continue positive telle que : \[\int_{0}^{\infty }f(u)du\] existe mais telle qu’ ...

Soit \(f\) une fonction positive décroissante de \({\Rr}^{+}\) dans ...

Soit \(f\) une application continue par morceaux de \({\Rr}^{+}\) dans ...

Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...

Étudier la nature de \[\int_{0}^{\infty }\frac{\sin t}{t^{\alpha }}dt\] selon ...

Soit \(f:[1,\infty [\rightarrow {\Rr}^{+}\) continue telle que ...

Soit \(f:]0;1] \rightarrow {\Rr }\) continue et monotone, telle que ...

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de ...

Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) continue, tendant vers \(\ell\) en ...

Calculer : ...

Rappeler l’énoncé de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Montrer que pour toute fonction continue d’un segment ...

Soit \(E = \left\{ f : \Rr \rightarrow \Rr \text{ continue $2\pi$-périodique}\right\}\). Montrer que ...

Calculer : \[\inf\limits_{(a,b)\in {\Rr}^{2}}\int_{0}^{1}x^{2}\left| \ln x-ax-b\right|^{2}dx.\]

Soit \(g\in C({\Rr},{\Rr})\), montrer que \(g\) est convexe si et seulement si : ...

Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’intégrale généralisée suivante ...

Tracer la courbe paramétrée définie par : ...

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,4]\) par ...

Soient les fonctions définies sur \(\R\), ...

Calculer l’intégrale de \(f:[a,b]\rightarrow \R\) comme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants: ...

Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?

Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) une fonction continue sur \([a,b]\) ( ...

Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) continue, positive; on pose ...

Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\R}\) une application strictement croissante telle que ...

Soit \(F(x)=\displaystyle \int_x^{x^2}\frac{1}{\ln t}d t\)

Calculer les intégrales suivantes : ...

Soit \(\displaystyle I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}d x\).

Calculer \(\int_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}d x\) (on posera \(\theta =\arcsin \frac xR\) ...

Calculer l’aire de la région délimitée par les courbes d’équation \(\displaystyle y=\frac{x^2}2\) et ...

Soit \(f\) une fonction continue définie sur un intervalle borné ...

Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([a,b]\subset\Rr\), à valeurs ...

Soit \(f : [0,1]\to \Rr\) une fonction continue.

Calculer les intégrales suivantes : ...

Calculer les intégrales suivantes : ...

Soit \(f\) une fonction continue dans \([0,\pi]\). Montrer, en utilisant un chang ...

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions réelles périodiques de période ...

Calculer les intégrales suivantes : ...

Calculer les intégrales ...

Soient \(a \neq 0\) un réel, et \(y>x>0\).

Soit \(x>0\) un réel. Calculer les valeurs de ...

Soit \(n \ge 0\) un entier. Montrer que l’intégrale ...

On définit \[F(x) = \int_0^x {\sin t\over t}\ dt\] et pour tout \(n \in \Nn\), o ...