Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Notions d’intégrale
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Intégrale d’une fonction continue et positive $f$ sur un segment $[a,b]$ : il s’agit de l’aire sous la courbe. Elle est notée $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. | La notion d’aire est ici intuitive et ne doit pas soulever de question théorique. |
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque. | Définition à partir de la partie positive et de la partie négative de la fonction. |
Extension de la définition au cas $b \leqslant a$. | |
Sommes de Riemann sur $[a, b]$ : $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + \frac{k}{n}(b - a)\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a + \frac{k}{n}(b - a)\right)$ | La notion d’aire étant admise, on admettra la convergence de la suite des sommes de Riemann dans le cas $\mathscr{C}^0$ et on pourra la justifier dans le cas $\mathscr{C}^1$. On observera que la formule n’était pas si intuitive : les erreurs élémentaires vont en rapetissant, mais sont aussi de plus en plus nombreuses. ⇌ Algorithme de calcul approché d’une intégrale. |
exo7 4350
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On définit pour \(x \in \R^*\) et ...
exo7 4351
Construire les courbes représentatives des fonctions suivantes :
exo7 4352
Montrer qu’il existe un unique réel \(x \in {[0,\pi]}\) tel que ...
exo7 4358
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4362
On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 4370
Montrer, pour \(x>1\) : ...
exo7 4372
Soit \(\alpha\in{]0,\frac\pi2[}\) et \(\lambda\in\R\). Chercher un équivalent pou ...
exo7 4373
Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...
exo7 4374
Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec ...
exo7 4375
Soit \(f\) continue par morceaux définie sur \(\R\), à valeurs dans ...
exo7 4379
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4400
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue.
Chercher ...
exo7 4401
Pour \(n \in \N\) on pose ...
exo7 4421
On suppose que la série à termes positifs de terme général \(u_n\) est divergente et on pose ...
exo7 4445
Soit \(u_{n,k}\) le reste de la division du \(n\) par ...
exo7 4447
Donner un équivalent simple de \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{n^2-k^2}\).
exo7 4449
Pour \(x > 1\) on note \(\zeta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^x}\). En compa ...
exo7 4506
Déterminer la limite simple des fonctions \(f_n : x \mapsto \frac{x^ne^{-x}}{n!}\) sur ...
exo7 4510
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue, non identiquement nulle, telle que ...
exo7 4517
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue telle que pour tout entier \(k\) on a ...
exo7 4530
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\).
exo7 4556
Soit \(f : \R \to \R\) continue et \(2\pi\)-périodique. Pour ...
exo7 4560
[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]
exo7 4607
A l’aide d’un développement en série entière, montrer que ...
exo7 4628
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ |\sin x| = \frac8\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2nx}{4n^2-1}\).
exo7 4665
Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=(-1)^n \int_{t=0}^1 \cos (nt^2)\,d t\).
exo7 5445
Soit \(f\) une application de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5446
Limites de ...
exo7 5447
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^2\) sur ...
exo7 5448
On suppose que \(f\) est une fonction de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5449
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues strictement positives sur \([a,b]\) ...
exo7 5453
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\). Pour ...
exo7 5454
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(f\) une application de classe ...
exo7 5455
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) telle que ...
exo7 5456
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues par morceaux et positives sur ...
exo7 5460
Etude complète de \(F(x)=\int_{x}^{2x}\frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\).
exo7 5464
Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).
exo7 5465
Soit \(f(t)=\frac{t^2}{e^t-1}\) si \(t\neq0\) et ...
exo7 5472
Etude de \(f(x)=\int_{-1}^{1}\frac{\sin x}{1-2t\cos x+t^2}\;dt\).
exo7 5473
Etude de \(f(x)=\int_{0}^{1}\mbox{Max}(x,t)\;dt\).
exo7 5475
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(In=\int_{0}^{\pi/4}\tan^nx\;dx\).
exo7 5485
Sur \(\Rr[X]\), on pose \(P|Q=\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt\). Existe-t-il ...
exo7 5712
Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...
exo7 5714
Etudier l’existence des intégrales suivantes.
| 1) (* ... |
exo7 5721
Etude complète de \(f~:~x\mapsto\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\).
exo7 5723
Soit \(f\) définie, continue, positive et décroissante sur \([1,+\infty[\), intég ...
exo7 5733
Montrer que pour tout réel \(a > 0\), ...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 5739
Montrer que \(\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}\) et ...