Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Algèbre linéaire 2 – Matrices
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Le but de ce chapitre est de mettre en place le calcul sur les matrices avec ses analogies et différences vis-à-vis du calcul sur les nombres réels et complexes. La mise en pratique de ce calcul peut nécessiter l’usage de l’ordinateur.
On travaille sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ le plus souvent en pratique, occasionnellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.
On ne confondra pas matrices (ou vecteurs) lignes et matrices (ou vecteurs) colonnes.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Matrices : définition, vocabulaire. Matrice nulle. Matrices carrées, matrices lignes, colonnes. Matrices triangulaires, diagonales. Matrice identité. | |
Opérations sur les matrices : somme, produit par un scalaire, produit matriciel. Formule du binôme quand les deux matrices commutent. Propriétés de ces opérations. | Produit de matrices diagonales. |
Transposée d’une matrice $M$, notée $M^T$. Transposée d’une somme, d’un produit de matrices. Matrices carrées symétriques. | |
Écriture matricielle d’un système linéaire. Rang d’une matrice. | On adapte la méthode du pivot qui devient un algorithme opérant sur les lignes ou les colonnes d’une matrice. Le rang d’une matrice est alors défini comme le nombre de pivots. On admet que le rang d’une matrice et de sa transposée sont les mêmes. On pourra proposer, dès que le cours sur les espaces vectoriels aura été traité, des caractérisations du rang d’une matrice permettant d’éviter le recours systématique à la méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang dans la pratique. |
Matrices carrées inversibles, matrice inverse, inverse d’un produit, inverse de la transposée d’une matrice carrée inversible. Recherche pratique de l’inverse d’une matrice. | L’inversion peut se ramener à la résolution de systèmes linéaires. La description d’un algorithme d’inversion de matrices n’est pas un attendu du programme. |
Déterminant des matrices $2 \times 2$ et caractérisation des matrices $2 \times 2$ inversibles. | Seul le déterminant des matrices $2 \times 2$ est introduit et les formules de Cramer, même dans le cas $2 \times 2$, ne sont pas exigibles. |
Expression matricielle formelle, $X = A^{-1}Y$, de la solution d’un système linéaire $AX = Y$ lorsque la matrice carrée $A$ qui lui est associée est inversible. |
exo7 1624
Soit \(u\) l’application suivante : ...
exo7 1625
Soit \(A\in\mathcal{M}_{n}(\R)\). Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propr ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1636
Soit ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1666
Soient les matrices ...
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...
exo7 1671
Soit \(B\) une matrice diagonalisable de ...
exo7 1687
Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes : ...
exo7 1703
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3}(\R)\) la matrice ...
exo7 1710
Donner toutes les suites \((x_{n})\), \((y_{n})\) et ...
exo7 1712
On considère la matrice ...
exo7 1716
Calculer les puissances et l’exponentielle (\(e^M=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}\)) des matrices suivantes : ...
exo7 1724
Soient \((x_n)_{n \in \N } ,\) \((y_n)_{n \in \N }\) et ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 1899
Soit \(A\in M_n(\Cc )\). Montrer quil existe une suite de matrices ...
exo7 2032
Les formules suivantes définissent-elles bien un changement de repère ? Dans ce cas, donner le changement de repère inverse.
exo7 2034
On considère le point \(A (-2,4,1)\), les vecteurs ...
exo7 2112
Montrer que l’ensemble des matrices carrées à \(n\) lignes et \(n\) colonnes de d ...
exo7 2113
On considère l’ensemble \(E\) des matrices carrées à coefficients réels de la forme
...
exo7 2123
On pose ...
exo7 2210
Soit \(n \in \Nn\) et on définit les matrices suivantes dans \(\Rr^{n\times n}\): ...
exo7 2211
Démontrer l’identité \[(A + UBV)^{-1} = A^{-1} -A^{-1} U( I+BVA^{-1}U)^{-1} BVA^{-1}\] en précisant:
-
...
exo7 2213
Montrer que si \(\rho (A) <1\) alors
exo7 2214
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) inversible et ...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2220
Soit \(A=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&10^{-6} \end{array}\right)\)
exo7 2222
Notons \(\tilde{A}_k\) la matrice carrée d’ordre \((n-k+1)\) formée des éléments ...
exo7 2224
Montrer que la factorisation LU préserve la structure des matrices bande au sens suivant : ...
exo7 2225
Soit \(A\) une matrice symétrique inversible admettant une factorisation LU. Montrer que l’on peut écrire ...
exo7 2226
Soit \(A=LU\) la décomposition LU d’une matrice \(A\in\Rr^{n\times n}\) avec ...
exo7 2227
On suppose \(A\in\Rr^{n\times n}\) inversible. Montrer que si \(PA\Pi =LU\) est o ...
exo7 2228
Soit \(A\in\Rr^{n\times n}\) telle que \(A^T\) soit à diagonale strictement domin ...
exo7 2231
Soient \(p,q :\) \(1\leq p < q\leq n\), ...
exo7 2233
Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs unitaires. Donner un algorithme qui utilise l ...
exo7 2234
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\). On veut construire une matrice ...
exo7 2235
Soit \(a\in\Rr\) et ...
exo7 2236
Soit \(A\) une matrice hermitienne inversible décomposée en \(A=M-N\) où ...
exo7 2237
Soit \(A=I-E-E^*\) une matrice carrée d’ordre \(N\) où ...
exo7 2238
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices réelles d’ordre ...
exo7 2239
On considère le système \(Ax=b\) avec ...
exo7 2434
Soit \(A\) une matrice carrée qui commute avec toutes les matrices carrées. Montrer que c’est une matrice scalaire ...
exo7 2436
Soit \(e = (e_1, e_2, e_3)\) la base canonique de \(\R^3\) et ...