Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Algèbre linéaire 2 – Matrices
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Le but de ce chapitre est de mettre en place le calcul sur les matrices avec ses analogies et différences vis-à-vis du calcul sur les nombres réels et complexes. La mise en pratique de ce calcul peut nécessiter l’usage de l’ordinateur.
On travaille sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ le plus souvent en pratique, occasionnellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.
On ne confondra pas matrices (ou vecteurs) lignes et matrices (ou vecteurs) colonnes.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Matrices : définition, vocabulaire. Matrice nulle. Matrices carrées, matrices lignes, colonnes. Matrices triangulaires, diagonales. Matrice identité. | |
Opérations sur les matrices : somme, produit par un scalaire, produit matriciel. Formule du binôme quand les deux matrices commutent. Propriétés de ces opérations. | Produit de matrices diagonales. |
Transposée d’une matrice $M$, notée $M^T$. Transposée d’une somme, d’un produit de matrices. Matrices carrées symétriques. | |
Écriture matricielle d’un système linéaire. Rang d’une matrice. | On adapte la méthode du pivot qui devient un algorithme opérant sur les lignes ou les colonnes d’une matrice. Le rang d’une matrice est alors défini comme le nombre de pivots. On admet que le rang d’une matrice et de sa transposée sont les mêmes. On pourra proposer, dès que le cours sur les espaces vectoriels aura été traité, des caractérisations du rang d’une matrice permettant d’éviter le recours systématique à la méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang dans la pratique. |
Matrices carrées inversibles, matrice inverse, inverse d’un produit, inverse de la transposée d’une matrice carrée inversible. Recherche pratique de l’inverse d’une matrice. | L’inversion peut se ramener à la résolution de systèmes linéaires. La description d’un algorithme d’inversion de matrices n’est pas un attendu du programme. |
Déterminant des matrices $2 \times 2$ et caractérisation des matrices $2 \times 2$ inversibles. | Seul le déterminant des matrices $2 \times 2$ est introduit et les formules de Cramer, même dans le cas $2 \times 2$, ne sont pas exigibles. |
Expression matricielle formelle, $X = A^{-1}Y$, de la solution d’un système linéaire $AX = Y$ lorsque la matrice carrée $A$ qui lui est associée est inversible. |
exo7 6358
On considère l’équation différentielle linéaire sur \(\Rr^n\) ...
exo7 6363
Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur p ...
exo7 6364
On considère \(A\) la matrice ...
exo7 6388
Déterminer la nature des applications suivantes : \(\Rr^2 \rightarrow \Rr^2\), ...
exo7 6438
Soit l’ensemble \(E=\Z \times \Z\) muni de l’opération binaire ...
exo7 6498
Soit \(\C\) muni des opérations binaires
...
exo7 6872
Calculer (s’il existe) l’inverse des matrices : ...
exo7 6885
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 6886
Calculer les déterminants des matrices suivantes :
...
exo7 7365
Calculer les produits de matrices \(ADA^{-1}\) et \(BDB^{-1}\) dans ...
exo7 7411
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par ...
exo7 7494
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7508
Soit \(\R^2\) le plan affine euclidien muni du produit scalaire standard et de la base canonique.
exo7 7608
On rappelle qu’à toute matrice \(A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\) de ...
exo7 7613
On rappelle qu’à toute matrice \(A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\) de ...
exo7 7801
Montrer sans calcul que la matrice suivante \(A\) à coefficients complexes est inversible ...
exo7 7809
On considère la forme symplectique sur \(\Rr^{2n}\) donnée par ...
exo7 7811
On considère dans \(\C ^4\) la matrice ...
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...
exo7 7901
Déterminer dans \(M(2,\Rr)\) une matrice \(I\) telle que ...
Inverse de matrice
Soient les matrices ...
Inverse de matrice et application
Soient les matrices ...
Inversibilité de matrices
Soit la matrice ...
Inversibilité de matrices
On considère les matrices: ...
Inversiblité de matrice
VRAI-FAUX - Soit \(A\) une matrice carrée. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles so ...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice
...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice \[A_\alpha= \begin{pmatrix} \alpha & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.\]
Matrices de permutation et signature
Une matrice de permutation est une matrice carrée qui contient exactement un \(1\) par ligne et un ...
Matrices inversibles
Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Dans l’affirmative, déterminer la matrice inverse. ...
Matrices inversibles
Dire si les matrices suivantes sont inversibles. Si oui, donner leur inverse :
...
Matrices, déterminants et inversion
Un système de communication encode des messages en transformant des vecteurs \(V \in \mathbb{R}^3\) en vecteurs co ...
Modélisation et matrices
Voici les ventes d’une buvette lors d’un festival de musique, ainsi que les prix pratiqués en euros:
Produit matriciel
Soient les matrices \(A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) et ...
Produit matriciel
On considère la matrice \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 1\end{pmatrix}\). ...
Produit matriciel
On considère les matrices suivantes: ...
Produit matriciel et inverse
Soient \(A=\begin{pmatrix}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{pmatrix}\) et ...
Puissance d'une matrice à paramètres
Soit la matrice de ...
Racine carrée d'une matrice
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}.\]
Résolution d'un système linéaire
Soit la matrice ...
Résolution d'équation matricielle
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices définies par ...
Système linéaire avec paramètre et déterminant
Considérer le système suivant dépendant d’un paramètre réel \(m\) :
...
Système linéaire paramétré
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\). On considère le système linéaire : ...
Trace de matrices
On rappelle que si \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n}}\), alors la trace de ...
Triangularisation et décomposition nilpotente
Soit \(A\) la matrice ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) définie par
...
Étude d'une matrice à paramètres
Soit la matrice ...