Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 4 – Nombres complexes
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Ce chapitre est entièrement nouveau pour la majorité des étudiants.
L’ensemble des nombres complexes est introduit pour munir le plan d’opérations compatibles avec celles déjà pratiquées sur la droite réelle. Cela permet de trouver, sans exhaustivité, des solutions à des équations algébriques. Ces équations seront essentiellement à coefficients réels, de petit degré et utiles par exemple pour alléger l’étude des suites réelles récurrentes linéaires à coefficients constants et des équations différentielles linéaires à coefficients constants.
- a) Écriture algébrique des nombres complexes 98
- b) Formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes 119
- c) Application aux équations du second degré. 48
Complexes et matrices
L’ensemble des nombres complexes est défini par \(\mathbb{C}=\{a+i b / a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\}\) avec ...
Des équations à prendre au second degré
Résoudre les équations suivantes :
exo7 1
Mettre sous la forme \(a+ib\) (\(a,b \in \Rr\)) les nombres : ...
exo7 10
Établir les égalités suivantes :
exo7 100
Étudier la suite \((z_{n})_{n\in \Nn}\) définie par: \(z_{0}=4,\) ...
exo7 101
On définit une fonction \(f\) de \(\mathbb C-\{i\}\) dans ...
exo7 102
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb C\) dans ...
exo7 108
Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose : \(\Leftrightarrow ,\ \Leftarrow,\ \Rightarrow.\) ...
exo7 11
Calculer le module et l’argument de \(u = \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\) et ...
exo7 12
Écrire sous la forme partie réelle-partie imaginaire, puis sous la forme module-argument le nombre complexe : ...
exo7 13
Déterminer le module et l’argument des nombres complexes : ...
exo7 1334
Soit \(\lambda\in\Cc\) fixé. Montrer que ...
exo7 1346
Traduire en termes d’homomorphisme de groupes les propriétés traditionnelles suivantes :
exo7 1364
Soit \(\Zz[i] = \left\{ a + ib, (a, b) \in \Zz^2\right\}\).
exo7 1367
On définit \(A=\left\{a+jb:a,b\in \Zz\right\}\) où \(j=\exp(\frac {2i\pi}3)\). ...
exo7 14
Déterminer le module et l’argument de \(\frac{1+i}{1-i}\). Calculer ...
exo7 15
Calculer \(Z=(1+i\sqrt 3)^{2000}\).
exo7 16
Calculer \((1+i\sqrt{3})^5 + (1-i\sqrt{3})^5\) et ...
exo7 17
Calculer le module et l’argument de \(z = \frac{1}{1+i\tan \alpha}\).
exo7 176
On définit une suite \((F_n)\) de la façon suivante : ...
exo7 18
Calculer les puissances \(n\)-ièmes des nombres complexes : ...
exo7 1835
Déterminer \(\max\limits_{\left| z\right| \leq 1}\left| \sin z\right| .\) On rappelle que : ...
exo7 1843
\(S=\{ z\in \Cc ; \vert z\vert = 1\} .\) Soit \(f\) l’application de ...
exo7 19
Comment choisir l’entier naturel \(n\) pour que \((\sqrt{3}+i)^n\) soit un réel ? ...
exo7 192
L’application \(f : \Cc\setminus{\{0\}} \rightarrow \Cc, \ z\mapsto z+1/z\) est-elle injective ? surjective ? bije ...
exo7 197
Si \(z=x+iy\), \((x,y)\in \Rr^2\), on pose ...
exo7 2
Écrire les nombres complexes suivants sous la forme \(a+ib\) (\(a,b \in \Rr\)) : ...
exo7 20
Soit \(z\) un nombre complexe de module \(\rho\), d’argument ...
exo7 200
Soit \(f:\Rr \rightarrow \Cc, \ t\mapsto e^{it}\). Changer les ensembles de départ et d’arrivée afin que (la restr ...
exo7 2004
Déterminer les \(z\in \Cc\) tels que \(z, z^{2}, z^{4}\) soient alignés.
exo7 2005
Si \(a\) et \(b\) sont les affixes de deux sommets opposés d’un carré, calculer l ...
exo7 2007
Pour \(a, b, c\) trois nombres complexes tels que \(b\neq c\), on note ...
exo7 2009
Soient \(A, B, C, D\) quatre points distincts du plan tels que ...
exo7 201
On appelle demi-plan de Poincaré l’ensemble \(\mathcal{P}\) des nombres complexes ...
exo7 2041
Dans le plan cartésien identifié à \(\Cc\), un point \(M\) est représenté par son ...
exo7 21
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels. Mettre le nombre complexe ...
exo7 22
Écrire l’expression \((1+\cos \phi+i\sin \phi)\) sous forme trigonométrique. En déduire l’expression de ...
exo7 229
Calculer le module et l’argument de \((1+i)^n\). En déduire les valeurs de ...
exo7 23
Mettre sous forme trigonométrique \(1 + e^{i\theta}\) où ...
exo7 2327
Calculer les intégrales ...
exo7 24
Montrer que si \(\left|z\right| \leq k <1\) alors ...
exo7 25
Montrer algébriquement et géométriquement que si \(\left|z\right| = 1\) alors ...
exo7 26
Résoudre l’équation \(\exp (z) = \sqrt{3} + 3i\).
exo7 264
Montrer que si \(r\) et \(s\) sont deux nombres entiers naturels somme de deux ca ...
exo7 27
Calculer les racines carrées de \(1,\ i,\ 3+4i,\ 8-6i,\) et \(7+24i\).
exo7 28
Trouver les racines carrées de \(3-4i\) et de \(24-10i\).
exo7 2871
Soit \(u_n\), \(n\geq1\) des nombres complexes. Montrer: ...
exo7 2877
On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...
exo7 2878
Montrer que \(\prod_{k=1}^\infty (1 + \frac ik)\) diverge tandis que ...
exo7 29
Calculer les racines carrées de \(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\). En déduire les valeurs de ...