Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 2 – Nombres réels
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L’objectif de ce chapitre est de consolider et de compléter les acquis des classes antérieures afin que ces outils soient familiers aux étudiants.
Les ensembles $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ sont supposés connus.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Intervalles. | On se limite à une simple description des différents types d’intervalles. |
Valeur absolue. | Interprétation de la valeur absolue en termes de distance. |
Partie entière. | On adopte la notation internationale $\lfloor \cdot \rfloor$ pour la partie entière afin de ne pas la confondre avec l’espérance. |
Exposants, racine carrée, racine cubique. | On se limite, à ce stade, aux puissances du type $x^n$, $x \in \mathbb{R}^*$, $n \in \mathbb{Z}$. On attend une maitrise des formules $(xy)^n = x^n y^n$, $x^{n+m} = x^n x^m$, $(x^n)^m = x^{nm}$, $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$, $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$. La notation $a^b$ avec $a \in \mathbb{R}_+^*$ et $b \in \mathbb{R}$ sera introduite dans le chapitre Analyse 2. |
Identités remarquables. | Les attendus se limitent aux formules suivantes : $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ |
Manipulation des inégalités. | Il s’agit d’une simple reprise des règles de calcul algébrique sur les inégalités. |
Résolutions d’équations et d’inéquations simples. | Il s’agit d’une reprise des types d’équations et inéquations abordées dans les classes antérieures. |
Majorant, minorant, plus grand, plus petit élément d’une partie non vide de $\mathbb{R}$. Borne supérieure, borne inférieure. | On admet l’existence de la borne supérieure d’une partie majorée non vide. La recherche de bornes supérieures ou inférieures à partir de la définition sera étudiée sur quelques exemples simples dans le seul but d’illustrer la notion. |
exo7 5153
Tout entier naturel non nul \(n\) s’écrit de manière unique sous la forme
...
exo7 5155
Soient \(n\) un entier naturel et \(x\) un réel positif.
exo7 5156
Montrer que : \(\forall n\in\Nn^*,\;\forall x\in\Rr,\;\sum_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})=E(nx)\) (poser la division ...
exo7 5157
Montrer que pour \(n\in\Nn\), ...
exo7 5158
Soit \(n\in\Nn^*\).
exo7 5159
Montrer que \(\forall n\in\Nn^*,\;\forall x\in\Rr,\;E(\frac{E(nx)}{n})=E(x)\).
exo7 5160
Soit \(n\in\Nn^*\) et \((x_1,x_2,...,x_n )\in[-1,1]^n\) tels que ...
exo7 5163
Montrer que \(\forall n\in\Nn,\;\forall x\in\Rr,\;|\sin(nx)|\leq n|\sin x|\).
exo7 517
Soit \(A\) une partie bornée de \(\Rr\) et \(x\) ...
exo7 5209
Montrer que les nombres suivants sont irrationnels.
exo7 5210
Soient \(A\) et \(B\) deux parties de ...
exo7 5211
Soit \(A=\left\{\frac{1}{n}+(-1)^n,\;n\in\Nn^*\right\}\). Déterminer ...
exo7 5212
Soit \(A\) une partie non vide et bornée de \(\Rr\). Montrer que ...
exo7 5213
Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides et majorées de ...
exo7 5217
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=1\). ...
exo7 5218
Montrer que les sous groupes du groupe \((\Rr,+)\) sont soit de la forme \(a\Zz\) ...
exo7 5219
Montrer que \(\{r^3,\;r\in\Qq\}\) est dense dans \(\Rr\).
exo7 5249
Calculer \(\mbox{inf}_{\alpha\in]0,\pi[}(\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|))\).
exo7 5285
De combien de façons peut-on payer \(100\) euros avec des pièces de \(10\), ...
exo7 5291
Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs, augmenté de 1, est un carré parfait.
exo7 5292
Montrer que \(\forall n\in\Zz,\;6|5n^3+n\).
exo7 5295
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(2^{n+1}\) divise ...
exo7 5296
Soient \(A\) la somme des chiffres de \(4444^{4444}\) et ...
exo7 5300
Montrer que la somme de cinq carrés parfaits d’entiers consécutifs n’est jamais un carré parfait.
exo7 5301
Pour \(n\in\Nn\), on pose \(F_n=2^{2^n}+1\) (nombres de F ...
exo7 5304
Résoudre dans \(\Nn^2\) l’équation \(3x^3+xy+4y^3=349\).
exo7 5305
Résoudre dans \((\Nn^*)^2\) l’équation d’inconnue \((x,y)\) : ...
exo7 5308
Soit \(u_n=10...01_2\).(\(n\) chiffres égaux à ...
exo7 5400
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5403
Trouver un exemple de fonction pèriodique dont le groupe des pèriodes est dense dans \(\Rr\) mais pas ...
exo7 5411
Soient \(x_1\), \(x_2\),..., \(x_n\), ...
exo7 573
Soit \(x\) un réel.
exo7 5822
Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...
exo7 5840
Inégalités de Hölder et de Minkowski. Soit ...
exo7 5843
Montrer qu’entre deux réels distincts, il existe un rationnel (ou encore montrer que \(\Qq\) est dense dans ...
exo7 5850
Calculer \(\underset{\alpha\in]0,\pi[}{\text{Inf}}\left\{\underset{n\in\Zz}{\text{Sup}}|\sin(n\alpha)|\right\}\). ...
exo7 5851
Soit \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) une application uniformément continue sur \(\Rr\). ...
exo7 5982
Soit \(x\) un réel.
exo7 617
Montrer que pour tout \(0<\epsilon <1\) et pour \(x \in \mathbb{R},\) on a: ...
exo7 690
Soit \(f : \Rr \to \Rr\) définie par \(f(x) = \frac{\cos x}{1+x^2}.\) Montrer que ...
exo7 7030
Résoudre le système suivant sur \(\R_+^*\) puis sur le domaine de définition maximal: ...
exo7 7031
Résoudre dans \(\R_+^*\) le système suivant: ...
exo7 7169
Soient \(a\) et \(b\) deux réels. Montrer ...
exo7 7170
On considère deux réels positifs dont le produit vaut \(100\). Leur somme a-t-elle une valeur minimale et si oui l ...
exo7 7171
Soit \(n>0\) un entier. On considère \(n\) réels positifs dont le produit vaut ...
exo7 7172
Un magasin vend au même prix deux lots de trois cristaux. Le premier lot comporte trois cristaux cubiques de côté ...
exo7 7173
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des réels positifs. ...
exo7 7175
Soient \(a, b \in \R^*\). Montrer que \[(1+a^2)(1+b^2) \geq 4ab.\]
exo7 7176
Soient \(a, b, c \in \R_+^*\). Montrer que ...