Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
a) Généralités sur les systèmes linéaires
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Équation linéaire à $p$ inconnues. Système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues $x_1, \ldots, x_p$. | |
Système linéaire homogène. | |
Système compatible, système incompatible, système de Cramer. | Tout système linéaire homogène est compatible. |
Opérations élémentaires sur les lignes d’un système linéaire : • échange des lignes $L_i$ et $L_j$, • ajout de $\lambda L_j$ à $L_i$, • multiplication de $L_i$ par $\lambda \neq 0$. | On emploiera les notations suivantes : $L_i \leftrightarrow L_j$, $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$, $L_i \leftarrow \lambda L_i$. |
Deux systèmes sont dits équivalents si on peut passer de l’un à l’autre par une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes. Deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solutions. |
exo7 3410
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3411
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3412
Étudier l’existence de solutions du système : ...
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Étudier l’existence de solutions du système : ...
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Étudier l’existence de solutions du système : ...
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Étudier l’existence de solutions du système : ...
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Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3417
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3418
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3419
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire incompatible. Montrer que les lignes de ...
exo7 3420
Soient \(f,f_1,\dots,f_p\) des formes linéaires sur \(K^n\) linéairement indépend ...
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3424
Trouver trois réels \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que pour tout polynôme de degré ...
exo7 3425
Résoudre le système : ...
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...
exo7 3446
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire de \(n\) équations à ...
exo7 4159
Problème d’ajustement linéaire : Etant donné \(n\) couples de réels ...
exo7 4963
Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x - y + z = -1 \cr 2x + y - z = 0 \cr\end{cases}\) ...
exo7 5230
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) les sui ...
exo7 5367
Résoudre le système \(MX=U\) où ...
exo7 5375
Résoudre (en discutant en fonction des différents paramètres) les systèmes suivants :
...
exo7 5376
Donner une base du sous-espace vectoriel de \(\Rr^5\) défini par :
...
exo7 5377
Dans le plan, on donne \(n\) points \(A_1\), ... , ...
exo7 5378
Résoudre le système : \(x_1+x_2=0\), \(x_{k-1}+x_k+x_{k+1}=0\) pour ...
exo7 5379
Soit \(E\) un ensemble contenant au moins \(n\) éléments et ...
exo7 5639
Résoudre le système \(MX = U\) où ...
exo7 6258
Soit \(E\) et \(F\) deux evn sur \(\Cc\). Une ap ...
exo7 7026
Résoudre les systèmes suivants, en précisant auparavant le domaine de résolution.
...
exo7 7027
La somme de deux nombres \(x\) et \(y\) est ...
exo7 7029
Dans une station de métro, les usagers ont à leur disposition un tapis roulant de 300m de long. Un piéton marchant à vitesse constante fait l’aller ...
exo7 7031
Résoudre dans \(\R_+^*\) le système suivant: ...
exo7 7033
Soient \(a_1 ,...,a_n\) des points du plan complexe.
Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins ...
exo7 7034
Résoudre le système suivant: \[\begin{cases} 8^x = 10y\\ 2^x = 5y \end{cases}\]
exo7 7080
On donne un nombre impair de points du plan \(M_1\), ...\(M_n\). Existe-t-il un p ...
exo7 7422
Soit \(a\) et \(b\) deux réels non nuls distincts. Dans un plan affine muni d’un ...
exo7 900
Soient dans \(\Rr^4\) les vecteurs \(v_1=(1,2,3,4)\) et ...
Résolution d'un système linéaire
Soit la matrice ...
Résolution de système linéaire à coefficients complexes
Résoudre le système linéaire à coefficients complexes suivant : ...
Résolution de système linéaire à paramètre
Résoudre le système d’équations suivant, où \(x, y, z \in \mathbb{R}_{+}^*\) : ...
Système linéaire avec paramètre et déterminant
Considérer le système suivant dépendant d’un paramètre réel \(m\) :
...
Système linéaire avec trop d'inconnues
Résoudre le système d’équations : ...
Système linéaire paramétré
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\). On considère le système linéaire : ...
Système linéaire paramétré
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\) un paramètre réel. On considère le système linéaire suivant : ...
Systèmes avec variable
Résoudre les systèmes suivants, en fonction de \(a,b,c\) et \(d\) : ...
Systèmes à paramètre
Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de \(\lambda\) les systèmes suivants sont de Cramer. Résoudre alors les systèm ...